Мінімальний простий ідеал

В абстрактній алгебрі простий ідеал P називається мінімальним простим ідеалом над ідеалом I якщо він є мінімальним (щодо включення) простим ідеалом, що містить I. Зокрема якщо I є простим ідеалом, то I є єдиним мінімальним простим ідеалом над собою. Простий ідеал називається мінімальним простим ідеалом якщо він є мінімальним простим ідеалом над нульовим ідеалом.

Приклади

В комутативному кільці Артіна довільний максимальний ідеал є мінімальним простим ідеалом.
В області цілісності єдиним мінімальним простим ідеалом є нульовий ідеал.
В кільці цілих чисел Z, мінімальними простими ідеалами, що містять головний ідеал (n) є головні ідеали (p), де p є простими дільниками n. Єдиним мінімальним простим ідеалом є сам нульовий ідеал, оскільки цілі числа є областю цілісності. Подібні твердження справедливі і для довільного кільця головних ідеалів.
Якщо I є p-примарним ідеалом (наприклад степінь p), доді p є єдиним мінімальним простим ідеалом над I.
Ідеали $(x)$ і $(y)$ є мінімальними простими ідеалами в кільці $\mathbb {C} [x,y]/(xy)$ оскільки вони містять нульовий ідеал (який не є простим, оскільки $x\cdot y=0\in (0)$ , але ні $x$ ні $y$ не є елементами нульового ідеалу) і не містяться в жодному іншому простому ідеалу.
В кільці $\mathbb {C} [x,y,z]$ мінімальними простими ідеалами над ідеалом $((x^{3}-y^{3}-z^{3})^{4}(x^{5}+y^{5}+z^{5})^{3})$ є ідеали $(x^{3}-y^{3}-z^{3})$ і $(x^{5}+y^{5}+z^{5})$ .

Властивості

Всі ідеали нижче вважаються комутативними і містять одиничний елемент.

Кожен власний ідеал I в кільці має хоча б один мінімальний простий ідеал над I. Доведення є типовим використанням леми Цорна.^[1] Будь-який максимальний ідеал, що містить I є простим тому множина простих ідеалів, що містять I є непустою. Перетин спадної послідовності простих ідеалів є простим ідеалом. Тому згідно леми Цорна множина простих ідеалів, що містять I має мінімальний елемент, що є мінімальним простим ідеалом над I.
В нетеровому кільці, над кожним ідеалом є лише скінченна кількість мінімальних простих ідеалів.^[2]^[3]

Позначимо

{\mathcal {F}}

множину всіх ідеалів

I

нетерового кільця

R

для яких множина всіх мінімальних простих ідеалів

Min(I)

є нескінченною. Припустимо, що

{\mathcal {F}}\neq \emptyset

. Тоді ця множина має максимальний елемент

I

.

Ідеал

I

очевидно не є простим і тому

\exists a,b\not \in I:ab\in I

. Оскільки

R

є нетеровим кільцем то кожен його ідеал є скінченнопородженим і зокрема

I=(r_{1},\ldots ,r_{n}).

Позначимо

J_{1}=(r_{1},\ldots ,r_{n},a)

,

J_{2}=(r_{1},\ldots ,r_{n},b).

Тоді

I\subset J_{1},\;\;I\subset J_{2}

і також

J_{1}J_{2}\subset I.

Оскільки

I

є максимальним елементом у

{\mathcal {F}}

то множини

Min(J_{1})

і

Min(J_{2})

є скінченними.

Нехай тепер

P\in Min(I)

, і оскільки

ab\in I\subset P

і

P

є простим ідеалом, то

a\in P

або

b\in P.

Звідси за означеннями

J_{1}\subset P

або

J_{2}\subset P

. Тобто

P

належить

Min(J_{1})

або

Min(J_{2}).

Як наслідок

Min(J_{1})

або

Min(J_{2})

має бути нескінченною множиною. Але це суперечить максимальності ідеалу

I

і завершує доведення.

Радикал ідеалу ${\sqrt {I}}$ є рівним перетину мінімальних простих ідеалів над I.^[4]
Нехай ${\mathfrak {p}}$ — мінімальний простий ідеал кільця $R$ . Кожен елемент максимального ідеалу локалізації $R_{\mathfrak {p}}$ є нільпотентним. Якщо $R$ є редукованим кільцем, то $R_{\mathfrak {p}}$ є полем.

Якщо

x\in {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}

не є нільпотентним то існує простий ідеал кільця

R_{\mathfrak {p}}

, що не містить

x

(оскільки перетин простих ідеалів є рівним нільрадикалу). Але тоді у

R

існує простий ідеал, що є власною підмножиною

{\mathfrak {p}}

і це суперечить мінімальності останнього. Якщо

R

є редукованим кільцем, то таким є і

R_{\mathfrak {p}},

тобто єдиним нільпотентним елементом є 0 і з попереднього

{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=0.

Тобто

R_{\mathfrak {p}}

є полем.

Усі елементи довільного мінімального простого ідеалу є дільниками нуля.^[5] Якщо кільце є редукованим, то навпаки кожен дільник нуля є елементом деякого мінімального простого ідеалу.

Нехай

{\mathfrak {p}}

мінімальний простий ідеал кільця

R

. Розглянемо мультиплікативну множину

{\rm {\,S\,}}

породжену множинами

R\setminus {\mathfrak {p}}

і

R\setminus Z,\

де

{\rm {\,Z}}

є множиною всіх дільників нуля у

R

(включно і з

0).\,

Тоді

{\rm {\,0\not \in S\ }}

(якщо

{\rm {\,0=a\,b,}}

{\rm {\ a\in R\setminus {\mathfrak {p}},\ }}

{\rm {\ b\in R\setminus Z\ }}

то мало б бути

{\rm {\Rightarrow b\in Z).}}

Тому існує ідеал

{\rm {\,Q\,}}

який є максимальний з ідеалів, що не містить

{\rm {\,S.\,}}

До того ж

{\rm {\,Q\,}}

є простим (теорема віддільності у статті Простий ідеал). Але

{\rm {\,S\,\supset \,R\setminus {\mathfrak {p}}\cup R\setminus Z\ }}

тому

Q\subset {\mathfrak {p}}\cap Z,\,

і з мінімальності

{\rm {\,{\mathfrak {p}}\,}}

випливає, що

{\rm {\,{\mathfrak {p}}=Q\subset Z,}}

тобто всі елементи

{\mathfrak {p}}

є дільниками нуля.

Для редукованого кільця

R

якщо xy = 0 і

y\not \neq 0,

то існує мінімальний простий ідеал

{\mathfrak {p}}

якому не належить y. Тоді

x\in {\mathfrak {p}}.

Простий ідеал ${\mathfrak {p}}$ кільця R є єдиним мінімальним простим ідеалом над ідеалом I якщо і тільки якщо ${\sqrt {I}}={\mathfrak {p}}$ . Ідеал I є ${\mathfrak {p}}$ -примарним якщо ${\mathfrak {p}}$ є максимальним. За допомогою цього можна отримати локальний критерій: простий ідеал ${\mathfrak {p}}$ є мінімальним простим над I якщо і тільки якщо $IR_{\mathfrak {p}}$ є ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ -примарним ідеалом. Якщо R є нетеровим кільцем, ${\mathfrak {p}}$ є мінімальним простим над I якщо і тільки якщо $R_{\mathfrak {p}}/IR_{\mathfrak {p}}$ є кільцем Артіна. Прообраз $IR_{\mathfrak {p}}$ при гомоморфізмі $R\to R_{\mathfrak {p}}$ є примарним ідеалом кільця $R$ який називається ${\mathfrak {p}}$ -примарною компонентою ідеалу I.

Див. також

Примітки

↑ Kaplansky, 1974, с. 6
↑ Kaplansky, 1974, с. 59
↑ Eisenbud, 1995, с. 47
↑ Kaplansky, 1974, с. 16
↑ Kaplansky, 1974, с. 57

Посилання

http://stacks.math.columbia.edu/tag/035E [Архівовано 25 грудня 2017 у Wayback Machine.]
http://stacks.math.columbia.edu/tag/035P [Архівовано 26 грудня 2017 у Wayback Machine.]

Література

Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, т. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings, University of Chicago Press, MR 0345945

[1] Kaplansky, 1974, с. 6

[2] Kaplansky, 1974, с. 59

[3] Eisenbud, 1995, с. 47

[4] Kaplansky, 1974, с. 16

[5] Kaplansky, 1974, с. 57

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]