У комутативній алгебрі термін простий елемент є узагальненням поняття простого числа для довільного комутативного кільця з одиницею.

ВизначенняРедагувати

Елемент   комутативного кільця з одиницею   називається простим, якщо   не є рівним 0, не є оборотним і якщо для довільних елементів   з того що   ділить добуток   випливає, що   ділить також хоча б один з елементів   або  .

ВластивостіРедагувати

  • Якщо   є простим елементом і   є оборотним елементом, то добуток   теж є простим елементом.
  • Для елемента   породжений ним ідеал   є простим тоді і тільки тоді, коли   є простим елементом.
  • Якщо кільце є областю цілісності, то будь-який простий елемент є незвідним:
Припустимо, що   є простим елементом і існує розклад на добуток елементів   Тоді   або   Нехай   тоді   Оскільки   є областю цілісності то   Тож   є оборотним елементом і   є незвідним.
Для довільного комутативного кільця це твердження не є правильним (див. приклади).
  • Навпаки для області цілісності незвідні елементи можуть не бути простими. Але, наприклад, у факторіальному кільці кожен незвідний елемент є простим і довільний елемент кільця розкладається на добуток простих елементів і цей розклад є єдиним з точністю до перестановки множників і до множень на оборотні елементи.

ПрикладиРедагувати

  • Оскільки для поля всі ненульові елементи є оборотними, то у полі немає простих елементів.
  • Для кільця цілих чисел простими елементами е прості числа (2, 3, 5, 7, 11, …).
  • Простими елементами в кільці гаусових чисел   є добуток   і простих чисел виду  , а також числа  , для яких   є простим числом, зокрема   Числа  ,   і   не є простими.
  • Область цілісності   (множина чисел виду   де   разом із звичайними операціями комплексних чисел) не є факторіальним кільцем і є прикладом області цілісності в якій є незвідні але не прості елементи. Зокрема   проте 2 не ділить жодне з чисел  . В іншому випадку норма числа 2   ділила б норму котрогось з цих чисел. Але   Тож 2 не є простим елементом у цьому кільці. Натомість 2 є незвідним елементом. В іншому разі його необоротний дільник   мав би задовольнять рівність   що неможливо.
  • В кільці   що не є областю цілісності елементи 2, 3 є простими але   тож вони не є незвідними.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати