Критерій Ейзенштейна

Крите́рій Ейзенштейна — ознака незвідності многочлена в полі раціональних чисел. Названа на честь німецького математика Ґотхольда Ейзенштейна.

ФормулюванняРедагувати

Нехай   — многочлен з цілочисельними коефіцієнтами і для деякого простого числа p виконуються умови:

  •  ,
  •   для будь-якого і від 0 до n-1,
  •  .

Тоді многочлен   є незвідним у полі   раціональних чисел.

ДоведенняРедагувати

Припустимо що:  , де   та   многочлени ненульових степенів над  . З леми Гауса випливає, що їх можна розглядати як многочлени над  . Маємо:

 

По умові  , тому або   або  , але не те і інше разом оскільки  . Нехай   і  . Всі коефіцієнти   не можуть ділитися на  , оскільки інакше б це було б вірно і для  . Нехай   — мінімальний індекс, для якого   не ділиться на  . Маємо:

 

Оскільки   і   для всіх   то  , але це неможливо, оскільки по умові   і  . Теорема доведена.

ПрикладиРедагувати

  • Многочлен   є незвідним в  , з цього виходить неможливість вирішення задачі про подвоєння куба
  • Многочлен   є незвідним в   . Справді, якщо він звідний, то звідним є і многочлен  , а оскільки всі його коефіцієнти, окрім першого є біноміальними, тобто діляться на    , а останній коефіцієнт   до того ж не ділиться на   то згідно з критерієм Ейзенштейна він є незвідним всупереч припущенню.
  • Многочлен   над   є прикладом, що показує, що критерій Ейзенштейна є тільки достатньою, але не необхідною умовою. Дійсно, єдиний простий дільник вільного члена це  , але 4 ділиться на   — тому критерій Ейзенштейна тут не можна застосувати. З іншого боку, як многочлен 3 степеня без раціональних коренів, цей многочлен є незвідним.

УзагальненняРедагувати

Нехай Dфакторіальне кільце і   — многочлен над D.

Нехай PDпростий ідеал, такий що:

  • aiP для in,
  • anP,
  • a0P2 (де P2 добуток ідеалу).

Тоді f(x) є незвідним в F[x], де Fполе часток D.

ПосиланняРедагувати