Лема Гауса про незвідні многочлени

Лема Гауса — твердження про властивості многочленів над факторіальними кільцями, що вперше було доведено для многочленів над кільцем цілих чисел. Має багато застосувань у теорії кілець та полів, зокрема при доведенні факторіальності кільця многочленів над факторіальним кільцем і теореми Люрота.

ТвердженняРедагувати

Нехай  факторіальне кільце. Тоді справедливими є такі два твердження:

  • Для довільних   якщо   ділить всі коефіцієнти добутку   то   також ділить всі коефіцієнти або многочлена   або многочлена   Зокрема якщо  примітивні многочлени (многочлен називається примітивним, якщо найбільший спільний дільник його коефіцієнтів є оборотним елементом), то і многочлен   є примітивним;
  • Якщо  поле часток кільця   то довільний многочлен не рівний константі є незвідним у кільці   тоді і тільки тоді коли він є незвідним у кільці  

Твердження про добуток примітивних многочленів і про незвідні многочлени будуть справедливими і якщо розглядати замість факторіальних кілець більш загальні області в яких два довільних елементи мають найбільший спільний дільник.

Доведення (для факторіальних кілець)Редагувати

Покажемо, що якщо елемент   кільця   є спільним дільником коефіцієнтів многочлена  , то він є спільним дільником всіх коефіцієнтів многочлена   або спільним дільником всіх коефіцієнтів многочлена  .

Нехай  ,  ,   — степені цих многочленів.

Припустимо, що   не ділить всі коефіцієнти ні многочлена   ні многочлена   Тоді існують найменші   для яких   і  

Коефіцієнт біля одночлена степеня   многочлена   має вигляд:

 

Згідно вибору   елемент   ділить всі доданки у цій сумі за винятком   яких він не ділить оскільки кільце є факторіальним. Отож він не ділить і всю суму, що є одним з коефіцієнтів многочлена. Як наслідок, якщо обидва многочлени   є примітивними то єдиними елементами, що ділять всі коефіцієнти їх добутку є оборотні елементи, тобто   — примітивний многочлен.

Нехай тепер   — факторизація у кільці   Обравши спільні кратні знаменників коефіцієнтів многочленів   отримуємо, що   і   і  

Кожен незвідний дільник   відповідно ділить всі коефіцієнти многочлена   і відповідно всі коефіцієнти одного з цих многочленів. Поділивши на цей дільник і повторивши цей процес скінченну кількість разів отримуємо факторизацію у кільці  

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Garling, D.J.H. (1986). A Course in Galois Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31249-3.