Теорема Круля в абстрактній алгебрі стверджує існування максимального ідеалу в довільному кільці з одиницею. Теорема названа на честь німецького математика Вольфганга Круля, що довів її у 1926 році[1]. У 1978 році Вілфрід Ходжес довів, що з теореми Круля випливає лема Цорна.[2]. Відповідно твердження теореми еквівалентно аксіомі вибору.

ТвердженняРедагувати

Нехай R — нетривіальне кільце з одиницею. Тоді для довільного ідеалу   існує максимальний ідеал J, такий що   Зокрема якщо взяти ідеал   то звідси випливає існування максимального ідеалу для довільного кільця з одиницею.

ДоведенняРедагувати

Нехай S — множина власних ідеалів R, що містять I. Множина S є непорожньою, оскільки I є елементом S. S є частково впорядкованою множиною щодо включення підмножин. Для довільної лінійно впорядкованої підмножини T елементів S, об'єднання ідеалів з T є також ідеалом . Цей ідеал є власним (оскільки 1 не належить жодному власному ідеалу з S і, відповідно з T). Тому згідно з лемою Цорна у множині S є максимальний елемент, що і буде максимальним ідеалом, що містить I.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. W. Krull, Die Idealtheorie in Ringen ohne Endlicheitsbedingungen, Mathematische Annalen 10 (1929), 729–744
  2. Wilfrid Hodges (1978), Krull Implies Zorn, Journal London Mathematical Society, Volume s2-19, 2, pp 285–287

ПосиланняРедагувати