Просте кільце

Кільце $R$ називається простим, якщо $R^{2}\neq \{0\}$ і $R\,$ не має двосторонніх ідеалів, відмінних $R\,$ і $\{0\}\,$.

Приклади і теореми

• Розглянемо кільце $R$ таке, що $R^{2}\neq \{0\}$, і аддитивна група $\langle R+\rangle$ має простий порядок. Тоді кільце $R$ — просте, оскільки в $\langle R+\rangle$ немає власних підгруп.
• Асоціативне комутативне кільце $R\,$ з одиницею є полем тоді і тільки тоді, коли $R\,$ просте кільце.

Припустимо спершу, що $R\,$ задовольняє всі умови теореми і є простим. Нехай $x\in R$ деякий ненульових елемент. Тоді $Rx\,$ є ненульовим ідеалом оскільки $x=x\cdot 1\in Rx$. Зважаючи на простоту кільця одержуємо $Rx=R\,$. Звідси випливає існування елемента $y\in R$, такого що $yx=1\,$.

Навпаки, припустимо $R\,$ — деяке поле і $I\,$ його ненульовий ідеал. Оскільки цей ідеал містить деякий ненульовий елемент $x\,$ він також містить $r=rx^{-1}x\,$ для всіх $r\in R$, тобто $I=R\,$, що й доводить простоту.

• Якщо $P\,$— поле, $n\,$ — додатне ціле число, то кільце матриць $\mathrm {Mat} (P,n)\,$ — просте.

Для доведення спершу позначимо $E_{i,j}\,$ матриці в яких на позиції $(i,j)\,$ стоїть одиничний елемент поля, а на інших позиціях нулі. Тоді одиничну матрицю можна записати $E=\sum _{i=1}^{n}E_{i,i}$. Нехай тепер $I\,$ — деякий ненульовий ідеал, а $x\in I$ — ненульовий елемент. Виконується рівність

$x=ExE=\sum _{i,j}^{}E_{i,i}xE_{j,j}$. Для деякої пари $(i,j)\,$ виконується $y=E_{i,i}xE_{j,j}\neq 0$. Оскільки елементи $E_{i,j}\,$ є базисними то можна записати $y=\sum _{r,s}^{}y_{r,s}E_{r,s}$. Очевидно $y=y_{i,j}E_{i,j}\quad y_{i,j}\neq 0$. Звідси одержуємо $E_{i,j}\in I$. З властивостей множення базисних елементів одержуємо, що всі вони належать ідеалу і відповідно $I=\mathrm {Mat} (P,n)\,$

• Центр простого кільця з одиницею є полем і кожне просте кільце є центральною простою алгеброю над своїм центром.

Нехай $a\in Z(R)$. Якщо цей лемент не є оборотним, то  $1\not \in aR=Ra.$ Але тоді  $aR$ є нетривіальним двостороннім ідеалом.

Також для довільного $r\in R$ виконується рівність $a^{-1}r=a^{-1}(ra)a^{-1}=a^{-1}(ar)a^{-1}=ra^{-1}$. Тобто $a^{-1}\in Z(R)$ і центр кільця є полем.

Теорема Веддерберна — Артіна

Нехай $R\,$ — просте кільце Артіна. Тоді кільце $R\,$ ізоморфне кільцю всіх матриць порядку $n\,$ над деяким тілом. При цьому $n\,$ визначено однозначно, а тіло з точністю до ізоморфізму. Навпаки, для будь-якого тіла $D\,$ кільце $\mathrm {Mat} (D,n)\,$ є простим кільцем Артіна.

Література

• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.
• Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
• Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.