Кільце називається простим, якщо і не має двосторонніх ідеалів, відмінних і .

Приклади і теоремиРедагувати

  • Розглянемо кільце   таке, що  , і аддитивна група   має простий порядок. Тоді кільце   — просте, оскільки в   немає власних підгруп.
  • Асоціативне комутативне кільце   з одиницею є полем тоді і тільки тоді, коли   просте кільце.
Припустимо спершу, що   задовольняє всі умови теореми і є простим. Нехай   деякий ненульових елемент. Тоді   є ненульовим ідеалом оскільки  . Зважаючи на простоту кільця одержуємо  . Звідси випливає існування елемента  , такого що  .
Навпаки, припустимо   — деяке поле і   його ненульовий ідеал. Оскільки цей ідеал містить деякий ненульовий елемент   він також містить   для всіх  , тобто  , що й доводить простоту.
  • Якщо  — поле,   — додатне ціле число, то кільце матриць   — просте.
Для доведення спершу позначимо   матриці в яких на позиції   стоїть одиничний елемент поля, а на інших позиціях нулі. Тоді одиничну матрицю можна записати  . Нехай тепер   — деякий ненульовий ідеал, а   — ненульовий елемент. Виконується рівність
 . Для деякої пари   виконується  . Оскільки елементи   є базисними то можна записати  . Очевидно  . Звідси одержуємо  . З властивостей множення базисних елементів одержуємо, що всі вони належать ідеалу і відповідно  


Нехай  . Якщо цей лемент не є оборотним, то    Але тоді    є нетривіальним двостороннім ідеалом.
Також для довільного   виконується рівність  . Тобто   і центр кільця є полем.

Теорема Веддерберна — АртінаРедагувати

Нехай   — просте кільце Артіна. Тоді кільце   ізоморфне кільцю всіх матриць порядку   над деяким тілом. При цьому   визначено однозначно, а тіло з точністю до ізоморфізму. Навпаки, для будь-якого тіла   кільце   є простим кільцем Артіна.

ЛітератураРедагувати

  • Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.
  • Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
  • Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.