Теорема Веддерберна — Артіна

Теорема Веддерберна — Артіна — твердження у абстрактній алгебрі, що класифікує усі напівпрості артинові кільця. Згідно теореми вони всі є ізоморфними добуткам матричних груп над деякими тілами.

Означення

Кільце $R$ (тут всі кільця вважаються кільцями з одиницею) називається простим якщо $R\neq 1$ і $R$ не містить ідеалів окрім $0$ і $R$.

Кільце $R$ називається лівим напівпростим кільцем якщо воно є напівпростим як лівий модуль над собою. Аналогічно можна дати означення правого напівпростого кільця.

Загалом просте кільце не є частковим випадком лівих напівпростих кілець; зокрема ліве напівпросте кільце є також правим напівпростим і (лівим і правим) артиновим кільцем. Натомість існують прості кільця, які не є артиновими. Проте додавши вимогу артиновості просте кільце буде і лівим і правим напівпростим.

Твердження для простих кілець

Для кільця $R$ наступні умови є еквівалентними:

1. R — просте і ліве артинове кільце;
2. R — ліве напівпросте ненульове кільце і всі прості ліві R-модулі є ізоморфними;
3. $R\cong M_{n}(D)$ де $M_{n}(D)$ — кільце усіх матриць над деяким тілом $D$ і $n\geqslant 1$;
4. Для трьох попередній умов справедливими є їх правосторонні аналоги.

Крім того, число $n$ є однозначно визначеним і $D$ є єдиним з точністю до ізоморфізмів.

Доведення

(1) -> (2). Нехай $Rc$ — мінімальний лівий ідеал $R$. Зважаючи на простоту $R$ маємо $R=RcR=\sum Rca_{i}$ де $a_{i}$ є елементами $R$. Лівий ідеал $Rca_{i}$ є образом $Rc$ при гомоморфному відображенні $rc\to rca_{i}$ тому, враховуючи мінімальність ідеалу $Rc$, або $Rca_{i}=0$ або $Rca_{i}$ є ізоморфним $Rc.$ Тому $R$ є сумою лівих ідеалів ізоморфних $Rc$ і тому з властивостей напівпростих модулів $R$ є прямою сумою таких модулів, тобто є напівпростим. Крім того, будь-який простий лівий $R$-модуль є ізоморфний як модуль фактору $R$ по лівому ідеалу, тож він є ізоморфним мінімальному лівому ідеалу.

(2) -> (3). оскільки $R$ є скінченнопородженим (елементом 1) лівим $R$-модулем, і напівпростим згідно припущення, воно є прямою сумою скінченної кількості мінімальних лівих ідеалів, які є ізоморфними між собою. Візьмемо мінімальний лівий ідеал $U$ і припустимо що $R=U^{n}$. Згідно леми Шура, $D=\operatorname {End} _{R}(U)$ є тілом; Тоді $\operatorname {End} _{R}(U^{n})\cong M_{n}(D)$. Також $\operatorname {End} _{R}(R)\cong R$ оскільки для довільного такого гомоморфізму $\phi (r)=\phi (r\cdot 1)=r\cdot \phi (1)$, тобто ендоморфізм є множенням на елемент $\phi (1)$. Разом $R=M_{n}(D)$, що і треба було довести.

Тут $n$ є однозначно визначеним як довжиною композиційного ряду підмодулів $R$ як лівого $R$-модуля, а $D$ є єдиним з точністю до ізоморфізму як кільце ендоморфізмів єдиного типу простих лівих $R$-модулів.

(3) => (1). $D_{n}=M_{n}(D)$ має скінченну розмірність як лівий $D$-векторний простір; кожний лівий ідеал є підпростором, тому умова спадних ланцюгів ідеалів виконується і $D_{n}$ є лівим артіновим модулем. Щоб довести, що $D_{n}$ є простим модулем, візьмемо будь-який $a=(a_{ij})\neq 0$, наприклад $a_{rs}\neq 0$. Тоді $e_{ir}ae_{sj}a_{rs}^{-l}=e_{ij}$, тож ідеал породжений $a$ містить всі $e_{ij}$ і тому є рівним $D_{n}$. Це показує, що $D_{n}$ є простим кільцем.

Оскільки умова (3) є симетричною щодо лівих 1 правих ідеалів , (1) і (2) також виконуються для правих ідеалів.

Твердження для напівпростих кілець

Усі ліві напівпрості кільця є скінченними добутками повних матричних кілець над тілами: $M_{n_{1}}(D_{1})\times M_{n_{2}}(D_{2})\times \ldots \times M_{n_{r}}(D_{r})$, де $n_{i}$ і типи ізоморфізму $D_{i}$ однозначно визначаються $R$. Навпаки, кожне кільце такого виду є напівпростим. Зокрема, кожне ліве напівпросте кільце є правим напівпростим і (лівим і правим) артіновим.

Крім того, два мінімальні ліві ідеали у $R$ є ізоморфними якщо і тільки якщо вони належать одному множнику у цьому розкладі.

Доведення

Оскільки $R$ є лівим напівпростим і є скінченнопородженим як лівий ідеал, то $R=H_{1}\oplus \ldots \oplus H_{r}$ де $H_{i}\cong I_{i}^{n_{i}}$ і $I_{i}$ є мінімальними лівими ідеалами, що є неізоморфними для різних індексів. Згідно леми Шура, $\operatorname {End} _{R}I_{i}=D_{i}$ є тілом, а $\operatorname {End} _{R}(I_{i},I_{j})=0,\;i\neq j$. Тоді також $\operatorname {End} _{R}(H_{i})=M_{n_{i}}(D_{i})$. Оскільки всі $H_{i}$ є сумами мінімальних лівих ідеалів з властивостей напівпростих модулів маємо $R\cong \operatorname {End} _{R}(R)\cong \prod M_{n_{i}}(D_{i})$. Тут $n$, і тип ізоморфізму $D$, визначаються типом компоненти $H_{i}$.

Навпаки, для будь-якого тіла $D$ і довільного $n\geqslant 1$, маємо $M_{n}(D)\cong I^{n}$, де $I$ є мінімальним лівим $D$-модулем, представленим, наприклад, стовпцем матричного кільця $M_{n}(D)$. Тож $\prod M_{n_{i}}(D)\cong \oplus I^{n_{i}}$ є лівим напівпростим. Воно має скінченну довжину композиційного ряду і тому є лівим артиновим. Зважаючи на симетрію матричного кільця воно є також правим напівпростим і правим артіновим.

Див. також

• Напівпростий модуль

Література

• John A. Beachy (1999). Introductory Lectures on Rings and Modules. Cambridge University Press. с. 156. ISBN 978-0-521-64407-5.
• Cohn, Paul Moritz (2003). Basic algebra: groups, rings, and fields. Springer. ISBN 978-1-85233-587-8.