Теорема Веддерберна — Артіна

Теорема Веддерберна — Артіна — твердження у абстрактній алгебрі, що класифікує усі напівпрості артинові кільця. Згідно теореми вони всі є ізоморфними добуткам матричних груп над деякими тілами.

ОзначенняРедагувати

Кільце   (тут всі кільця вважаються кільцями з одиницею) називається простим якщо   і   не містить ідеалів окрім   і  .

Кільце   називається лівим напівпростим кільцем якщо воно є напівпростим як лівий модуль над собою. Аналогічно можна дати означення правого напівпростого кільця.

Загалом просте кільце не є частковим випадком лівих напівпростих кілець; зокрема ліве напівпросте кільце є також правим напівпростим і (лівим і правим) артиновим кільцем. Натомість існують прості кільця, які не є артиновими. Проте додавши вимогу артиновості просте кільце буде і лівим і правим напівпростим.

Твердження для простих кілецьРедагувати

Для кільця   наступні умови є еквівалентними:

  1. R — просте і ліве артинове кільце;
  2. R — ліве напівпросте ненульове кільце і всі прості ліві R-модулі є ізоморфними;
  3.   де   — кільце усіх матриць над деяким тілом   і  ;
  4. Для трьох попередній умов справедливими є їх правосторонні аналоги.

Крім того, число   є однозначно визначеним і   є єдиним з точністю до ізоморфізмів.

ДоведенняРедагувати

(1) -> (2). Нехай   — мінімальний лівий ідеал  . Зважаючи на простоту   маємо   де   є елементами  . Лівий ідеал   є образом   при гомоморфному відображенні   тому, враховуючи мінімальність ідеалу  , або   або   є ізоморфним   Тому   є сумою лівих ідеалів ізоморфних   і тому з властивостей напівпростих модулів   є прямою сумою таких модулів, тобто є напівпростим. Крім того, будь-який простий лівий  -модуль є ізоморфний як модуль фактору   по лівому ідеалу, тож він є ізоморфним мінімальному лівому ідеалу.

(2) -> (3). оскільки   є скінченнопородженим (елементом 1) лівим  -модулем, і напівпростим згідно припущення, воно є прямою сумою скінченної кількості мінімальних лівих ідеалів, які є ізоморфними між собою. Візьмемо мінімальний лівий ідеал   і припустимо що  . Згідно леми Шура,   є тілом; Тоді  . Також   оскільки для довільного такого гомоморфізму  , тобто ендоморфізм є множенням на елемент  . Разом  , що і треба було довести.

Тут   є однозначно визначеним як довжиною композиційного ряду підмодулів   як лівого  -модуля, а   є єдиним з точністю до ізоморфізму як кільце ендоморфізмів єдиного типу простих лівих  -модулів.

(3) => (1).   має скінченну розмірність як лівий  -векторний простір; кожний лівий ідеал є підпростором, тому умова спадних ланцюгів ідеалів виконується і   є лівим артіновим модулем. Щоб довести, що   є простим модулем, візьмемо будь-який  , наприклад  . Тоді  , тож ідеал породжений   містить всі   і тому є рівним  . Це показує, що   є простим кільцем.

Оскільки умова (3) є симетричною щодо лівих 1 правих ідеалів , (1) і (2) також виконуються для правих ідеалів.

Твердження для напівпростих кілецьРедагувати

Усі ліві напівпрості кільця є скінченними добутками повних матричних кілець над тілами:  , де   і типи ізоморфізму   однозначно визначаються  . Навпаки, кожне кільце такого виду є напівпростим. Зокрема, кожне ліве напівпросте кільце є правим напівпростим і (лівим і правим) артіновим.

Крім того, два мінімальні ліві ідеали у   є ізоморфними якщо і тільки якщо вони належать одному множнику у цьому розкладі.

ДоведенняРедагувати

Оскільки   є лівим напівпростим і є скінченнопородженим як лівий ідеал, то   де   і   є мінімальними лівими ідеалами, що є неізоморфними для різних індексів. Згідно леми Шура,   є тілом, а  . Тоді також  . Оскільки всі   є сумами мінімальних лівих ідеалів з властивостей напівпростих модулів маємо  . Тут  , і тип ізоморфізму  , визначаються типом компоненти  .

Навпаки, для будь-якого тіла   і довільного  , маємо  , де   є мінімальним лівим  -модулем, представленим, наприклад, стовпцем матричного кільця  . Тож   є лівим напівпростим. Воно має скінченну довжину композиційного ряду і тому є лівим артиновим. Зважаючи на симетрію матричного кільця воно є також правим напівпростим і правим артіновим.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати