Відкрити головне меню

Лема Шура — твердження, що є одним з основних при побудові теорії представлень груп.

Формулювання лемиРедагувати

Представлення групи   автоморфізмами деякого векторного простору     називається незвідним, якщо не існує ніякого інваріантного щодо   підпростору за винятком нульового підпростору і самого  .

Лема Шура: Нехай   — лінійне відображення векторних просторів   над деяким полем   таке, що існують два незвідні представлення   і  , такі, що   для всіх  . тоді:

  1. Відображення   є або ізоморфізмом або нульовим відображенням.
  2. Якщо   є скінченновимірними над алгебраїчно замкнутим полем   і  , то   є множенням на певний елемент поля  .

Також лемою Шура називають твердження з теорії модулів, пов'язане з попереднім: Нехай   і   модулі над кільцем  , які є простими (тобто не мають підмодулів, відмінних від нульового і самого себе). Тоді будь-який гомоморфізм   є або нульовим, або ізоморфізмом на  . Зокрема якщо   то довільний ненульовий ендоморфізм модуля   є автоморфізмом і тому має обернений автоморфізм. Іншими словами кільце   (кільце  -лінійних ендоморфізмів модуля  ) є тілом.

ДоведенняРедагувати

Доведемо спершу твердження для модулів, а потім на його основі і лему Шура для представлень груп.

Справді, так як   і   є підмодулями, то якщо   є ненульовим гомоморфізмом, маємо  , а  , тобто   — ізоморфізм на весь модуль  .

Тепер визначимо групове кільце  . Елементами цього кільця будуть лінійні комбінації  . Множення визначається   і далі по лінійності. Ясно, що   кільце. На просторі   визначимо множення елемента з   на елемент  :  . Тим самим ми перетворюємо   в модуль над кільцем  . Перевірка аксіом модуля тривіальна, тому що   є представленням.   аналогічно, замінюючи   на  , буде модулем над  , а рівність   те, що відображення   є гомоморфізмом модулів. Так як   і   є незвідними, а це означає простоту   і   як модулів над  , то перша частина леми доведена.

Для доведення другої частини використовуємо відоме твердження лінійної алгебри про існування власного вектора   для скінченновимірного простору над алгебраїчно замкнутим полем, що відповідає власному значенню  ,  . Для будь-якого елемента   маємо  , причому для власного вектора   отже   по першій частині леми є нульовим гомоморфізмом, отже   є множенням на деякий  .

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати