Відкрити головне меню

Теорема Джекобсона про щільність

В абстрактній алгебрі теорема Джекобсона про щільність є важливим результатом про властивості некомутативних кілець та модулів над ними. Теорема має застосування у теорії представлень груп та загальній теорії груп. Названа на честь американського математика Натана Джекобсона.

Необхідні означенняРедагувати

Нехай   є кільцем з одиницею і  R-модуль. Такий модуль називається простим, коли у нього немає нетривіальних підмодулів, тобто єдиними його підмодулями є   і  . Модуль називається точним, якщо   виконується лише для  .

Позначимо   множину R-ендоморфізмів модуля  . На   можна ввести множення кільця   як

    де    

і тоді   буде  -модулем на якому можна розглядати  -лінійні відображення.

 -лінійність ендоморфізмів   означає, що

    для всіх    .

Позначивши   відображення лівого множення елементів   на елемент  , з попереднього рівняння одержуємо, що кожна   є  -лінійним відображенням. Загалом натомість   не є  -лінійним якщо   не є комутативним кільцем.

Теорема Джекобсона про щільністьРедагувати

Твердження теоремиРедагувати

Нехай   є кільцем з одиницею (загалом некомутативним),   — простий точний лівий  -модуль і   є  -лінійним відображенням.

Тоді для кожної скінченної множини елементів  , що є лінійно незалежними над   існує такий елемент  , що   для всіх  .[1][2]

Іншими словами для D-лінійно незалежних елементів   і довільних елементів   існує такий елемент  , що  

Доведення теоремиРедагувати

Нехай  скінченна підмножина і   — анулятор підмножини. Нехай елемент  , такий що  . Тоді   належить  -лінійній оболонці множини  

Справді якщо  , то   і  , тож   належить лінійній оболонці порожньої множини. Нехай тепер   і доведення можна здійснити індукцією по  .

Нехай   і позначимо  . Нехай  . Зауважимо що  . Якщо  , тоді   і тому  . Згідно припущення індукції у цьому випадку   належить  -лінійній оболонці множини   і відповідно і  -лінійній оболонці множини  . Тому надалі можна вважати що  . Множина   є лівим ідеалом і тому   є  -підмодулем у  . Оскільки   є простим модулем, то  .

Тепер введемо відображення  . Оскільки  , то кожен елемент у   рівний   для деякого  . Тоді візьмемо  . Дане означення є несуперечливим адже якщо   для  , тоді   і звідси  . Тому згідно умови також .

Далі доведемо, що  . Це відображення є очевидно адитивним, і тому потрібно перевірити, що воно є  -ендоморфізмом. Нехай   і   і запишемо   для деякого  . Оскільки  , то  . Тому  . Для завершення цієї частини доведення достатньо показати, що   належить  -лінійній оболонці множини  . Згідно припущення індукції, це твердження рівнозначне тому, що  . Нехай   , тоді  , що й треба було довести.

Повертаючись тепер до загального результату, доведення будемо здійснювати індукцією по  . Нехай, як і вище,   і позначимо  . Згідно припущення індукції існує такий елемент  , що  . Позначимо  . Для всіх   елемент   задовольняє рівності  . Тому для завершення доведення потрібно підібрати   так щоб також  .

Але оскільки   є  -лінійно незалежним від   то з попереднього  . Як і в доведенні вище звідси  , тому можна вибрати  , такий що  , що завершує теорему Джекобсона про щільність.

КоментаріРедагувати

Зважаючи на простоту лівого  -модуля   кільце   згідно леми Шура є тілом. Для всіх   і   позначимо

 .

Множини   утворюють підбазу топології  , яка називається скінченною топологією.

Зважаючи на точність модуля оператор   можна ідентифікувати з елементом  . Тоді можна записати   і як наслідок теореми Джекобсона підмножина   буде щільною у скінченній топології.[3], що пояснює назву теорема про щільність.

Справді деяка підмножина у топологічному просторі є щільною тоді і тільки тоді коли перетин цієї множини і непустого перетину скінченної кількості множин із підбази теж є непустою підмножиною. Але   є підмножиною відображень   для яких   для всіх  . З теореми Джекобсона випливає існування   для якого виконуються ці рівності і тоді  

Якщо   є скінченновимірним векторним простором над   і   є його базисом, тоді   і в базисі   згідно теореми Джекобсона  .

Примітивні кільцяРедагувати

Кільце   з одиницею називається примітивним, якщо для нього існує точний, простий модуль.[4] Згідно теореми Джекобсона про щільність, для примітивного кільця   існує тіло   і  -модуль   такий, що   є щільною підмножиною у  . За такий модуль можна взяти точний простий модуль  , який існує за означенням і тоді теж взяти  .

Ця властивість характеризує примітивні кільця, адже якщо   є щільним підкільцем для модуля   над тілом  , то   є точним простим  -модулем. Справді нульовий ендоморфізм є єдиним елементом   який переводить модуль   в нуль і оскільки   є підмножиною   то у цьому кільці може бути лише один елемент (а саме нульовий елемент) множення на який обнуляє модуль. Також оскільки   є щільним підкільцем і для будь-яких   існує такий , що   то існує такий  , що  . Тобто завжди   і єдиними підмодулями модуля   є   і  , тобто він є простим  -модулем.

Ця характеристика примітивних кілець є фактично альтернативною формою твердження теореми Джекобсона.[5].

Теорема БернсайдаРедагувати

Прикладом застосування теореми Джекобсона є теорема Бернсайда.

Введемо групову алгебру   (тобто множину  -лінійних комбінацій з елементами групи   з очевидними означеннями суми і добутку) і продовжимо відображення   до гомоморфізму  -алгебр  . Позначимо  . Тоді згідно означень   є точним і простим  -модулем. Тоді   є множиною лінійних операторів, що комутують з усіма елементами  , а отже із усіма елементами  . Оскільки згідно умови представлення є незвідним, то згідно леми Шура   є множиною скалярних відображень і може бути ідентифікованим з  .

Згідно теореми Джекобсона таким чином  , тобто   є алгеброю всіх ендоморфізмів лінійного простору. Оскільки   є лінійною оболонкою образів представлення групи, то серед цих образів можна вибрати базис простору  .[6]

ПриміткиРедагувати

  1. Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 8.1.7: The Jacobson Density Theorem
  2. I. Martin Isaacs: Algebra – A Graduate Course, American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics (2009), Band 100, Theorem (13.14)
  3. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Theorem 2.1.6
  4. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.1.1.
  5. Benson Farb, R. Keith Dennis: Noncommutative Algebra, Springer-Verlag (1993), ISBN 978-0-387-94057-1, Theorem 5.2 (Jacobson Density Theorem)
  6. Derek J. S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Теорема 8.1.8

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати