Групове кільце

Групове кільце — кільце, що є водночас вільним модулем, яке можна побудувати за даним кільцем та даною групою. Неформально кажучи, групове кільце $K[G]$ — це вільний модуль над кільцем $K$, базис якого перебуває в бієктивній відповідності до елементів групи $G$, множення базисних елементів визначається як множення елементів групи, а на інші елементи множення «поширюється за лінійністю».

Апарат групових кілець особливо корисний у теорії представлень груп.

Визначення

Нехай $K$ — кільце, а $G$ — група. Тоді груповим кільцем $K[G]$ називають множину скінченних формальних сум вигляду $\alpha =\sum _{g\in G}a_{g}g,\quad a_{g}\in K$, які додаються та множаться в такий спосіб: Якщо $\alpha =\sum _{g\in G}a_{g}g,\ \beta =\sum _{g\in G}b_{g}g$, то

$\alpha +\beta =\sum _{g\in G}(a_{g}+b_{g})g$

$\alpha \cdot \beta =\sum _{g\in G}\left(\sum _{xy=g, \atop x,y\in G}a_{x}b_{y}\right)g$ .

Властивості

• Якщо $K$ і $G$ комутативні, то $K[G]$ комутативне.
• Якщо $K$ — кільце з одиницею, то $K[G]$ — кільце з одиницею.
• Вкладення $G$ в $K[G]$ утворює базис групового кільця.
• Якщо $H$ — підгрупа $G$, то $K[H]$ — підкільце кільця $K[G]$.
• Нехай $K$ є полем, тоді кожному елементу $G$ можна зіставити лінійне перетворення векторного простору $K[G]$ — множення на відповідний базисний вектор зліва. Це зіставлення задає регулярне подання групи.

Література

• Б.Л. ван дер Варден. Алгебра. — М. : Наука, 1976.
• Наймарк М. Теория представлений групп. — М. : Наука, 1976.