Схема (математика)

Схема — в математиці абстрактне поняття, що є дуже широким узагальненням алгебричного многовиду. Схеми в сучасному виді були введені французьким математиком Александром Гротендіком і є ключовим поняттям сучасної алгебричної геометрії.

Афінні схемиРедагувати

Базовим поняттям теорії схем є афінні схеми, що є аналогами афінних многовидів. Довільні схеми склеюються з афінних, подібно до того, як многовиди склеюються з локальних карт. Афінні многовиди вводяться на спектрах кілець з введеною на них топологією і визначеним на цій топології пучком кілець. Більш загально афінними схемами називаються локально окільцьовані простори, що є ізоморфними спектру кільця з введеним структурним пучком.

Спектр кільцяРедагувати

Нехай    — кільце. Спектром   кільця   називається множина елементами якої є всі прості ідеали кільця  . На цій множині вводиться топологія Зариського в якій замкнутими множинами є множини виду:

 
де    — усі довільні ідеали кільця   (очевидно у визначенні можна замість ідеалів взяти довільні множини елементів кільця).

Відкритими множинами є, відповідно, доповнення замкнутих, тобто множини виду

 

Базу топології на спектрі утворюють множини   що пов'язані з головними ідеалами  .

Структурний пучокРедагувати

Аффінна схема  — локально окільцьований простір  , де    — структурний пучок кілець на відкритих підмножинах спектру. Він вводиться таким чином, щоб будь-яку відкриту підмножину в   можна було розглядати як підсхему, при цьому для афінних схем виконується  , що означає еквівалентність геометричного і алгебраїчного погляду на кільце.

За визначенням, структурний пучок на елементах бази має вигляд

 
де    — локалізація кільця   по елементу  . Цю конструкцію в єдиний спосіб можна продовжити до пучка на  .

У явному вигляді

 
 
 

Структурний пучок на спектрі кільця можна також ввести і в інший спосіб. Нехай   — позначає прості ідеали кільця і   локалізацію кільця по цих ідеалах. Якщо   — відкрита підмножина в спектрі, то   можна визначити як множину функцій:

  (символ   позначає диз'юнктне об'єднання)
таке що для всіх   виконується   і s локально є часткою двох елементів кільця A, тобто для всіх   існує окіл   якому належить   і елементи   такі що для всіх   справедливо   і   у  

На визначеній так множині   можна ввести операції додавання і множення після цього дана множина стане комутативним кільцем з одиницею.

Спектр із введеним вище структурним пучком є локально окільцьованим простором.

Афінною схемою називається довільний локально окільцьований простір ізоморфний спектру кільця із структурним пучком.

СхемиРедагувати

Схема  — локально окільцьований простір   (   — топологічний простір,    — пучок кілець на ньому), що є локально ізоморфним афінній схемі. Більш детально, потрібно, щоб існувало таке покриття   топологічного простору   афіними схемами  , так що обмеження структурного пучка на елементи покриття дає структурні пучки відповідних афінних схем:

 
 

Топологічний простір   називається базисним топологічним простором схеми  , а   називається структурним пучком. Морфізм схем  — це морфізм відповідних локально окільцьованих просторів. Ізоморфізм  — морфізм, що має обернений морфізм.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98637-5. 
  • Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.