Відкрити головне меню

В математиці градуйованою алгеброю (кільцем, модулем) називається алгебра (кільце,модуль) із спеціальною структурою — градуюванням.

Зміст

Градуйовані кільцяРедагувати

Градуйоване кільце Aкільце, що є прямою сумою комутативних адитивних груп:

 

і виконується властивість:

 

тобто

 

Елементи   називаються однорідними елементами порядку n. Ідеал  A називається однорідним, якщо для кожного елемента a , всі однорідні складові a також належать  

Якщо I — однорідний ідеал в A, тоді фактор-кільце   також є градуйованим кільцем, що має розклад:

 

Градуйовані модуліРедагувати

Подібним чином визначається поняття градуйованого модуля. Модуль M над градуйованим кільцем A називається градуйованим якщо:

 

і

 

Градуйовані алгебриРедагувати

Алгебра A над кільцем R називається градуйованою алгеброю, якщо вона є градуйованою як кільце. У випадку якщо кільце R є також градуйованим, то також вимагається виконання умов:

  1.  , і
  2.  .

G - градуйована алгебраРедагувати

Нехай Aалгебра над кільцем k, Gмоноїд.

Алгебра A називається G-градуйованою, якщо A розкладається в пряму суму k-модулів   по всіх елементах g з G, причому множення в алгебрі узгоджене з множенням в моноїді:

 

Якщо ненульовий елемент a належить  , то він називається однорідним степеня g.

Подібним чином можна визначити і G - градуйовані кільця і модулі.

Конструкції з градуюваннямиРедагувати

  • Якщо AG-градуйована алгебра, а  гомоморфізм напівгруп, тоді A наділяється H-градуюванням за правилом:
 
  • На будь-якій алгебрі A можна ввести тривіальне градуювання будь-якою напівгрупою G з одиницею e, вважаючи  .
  для всякого  .

ПрикладиРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen Graded Ring Theory, — North-Holland, Amsterdam,1982