Градуйована алгебра

В математиці градуйованою алгеброю (кільцем, модулем) називається алгебра (кільце, модуль) із спеціальною структурою — градуюванням.

Градуйовані кільця

Градуйоване кільце A — кільце, що є прямою сумою комутативних адитивних груп:

$A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=A_{0}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots$

і виконується властивість:

$x\in A_{s},y\in A_{r}\implies xy\in A_{s+r}$

тобто

$A_{s}A_{r}\subseteq A_{s+r}.$

Елементи $A_{n}$ називаються однорідними елементами порядку n. Ідеал ${\mathfrak {a}}$ ⊂ A називається однорідним, якщо для кожного елемента a ∈ ${\mathfrak {a}}$, всі однорідні складові a також належать ${\mathfrak {a}}.$

Якщо I — однорідний ідеал в A, тоді фактор-кільце $A/I$ також є градуйованим кільцем, що має розклад:

$A/I=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }(A_{n}+I)/I.$

Градуйовані модулі

Подібним чином визначається поняття градуйованого модуля. Модуль M над градуйованим кільцем A називається градуйованим якщо:

$M=\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }M_{i},$

і

$A_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}.$

Градуйовані алгебри

Алгебра A над кільцем R називається градуйованою алгеброю, якщо вона є градуйованою як кільце. У випадку якщо кільце R є також градуйованим, то також вимагається виконання умов:

1. $A_{i}R_{j}\subset A_{i+j}$, і
2. $R_{i}A_{j}\subset A_{i+j}$.

G - градуйована алгебра

Нехай A — алгебра над кільцем k, G — моноїд.

Алгебра A називається G-градуйованою, якщо A розкладається в пряму суму k-модулів $A_{g}$ по всіх елементах g з G, причому множення в алгебрі узгоджене з множенням в моноїді:

$A_{f}A_{g}\subset A_{fg}$

Якщо ненульовий елемент a належить $A_{g}$, то він називається однорідним степеня g.

Подібним чином можна визначити і G - градуйовані кільця і модулі.

Конструкції з градуюваннями

• Якщо A — G-градуйована алгебра, а $\psi :G\to H$ — гомоморфізм напівгруп, тоді A наділяється H-градуюванням за правилом:

$A_{h}=\oplus _{g\in G}\{A_{g}|\psi (g)=h\}$

• На будь-якій алгебрі A можна ввести тривіальне градуювання будь-якою напівгрупою G з одиницею e, вважаючи $A_{e}=A$.

• Над полем $\mathbb {C}$ будь-яка алгебра A градуюється групою G характерів максимального тора своєї групи алгебраїчних автоморфізмів:

$G=(T(Aut_{k-alg}(A)))^{\vee }:\quad A_{g}=\{a\in A|\phi (a)=g(\phi )a,$ для всякого $\phi \in T(Aut_{k-alg}(A))\}$.

Приклади

• Кільце многочленів від однієї або декількох змінних.
• Кільце когомологій
• Алгебра матриць порядку n градуюється групою $\mathbb {Z} _{n-1}$
• Напівгрупова алгебра $K\left[G\right]$ є G-градуйованою алгеброю.

Література

• C. Nastasescu, F. Van Oystaeyen Graded Ring Theory, — North-Holland, Amsterdam,1982