Форма об'єму

Форма об'єму — диференціальна форма найвищої розмірності на гладкому многовиді (тобто $n$-форма на $n$-мірному многовиді), яка не обнуляється ні в одній точці.

Форма об'єму дозволяє визначити інтеграл функції на многовиді. Іншими словами, форма об'єму задає міру, за якою можна інтегрувати функції.

Властивості

• Гладкий многовид має форму об'єму тоді і тільки тоді, коли він орієнтовний.
• На многовиді з формою об'єму $\omega$, дивергенцію векторного поля $X$ можна визначити за допомогою наступних тотожностей:

  $(\operatorname {div} X)\cdot \omega ={\mathcal {L}}_{X}\omega =d(X\;\lrcorner \;\omega )$

де ${\mathcal {L}}_{X}$ позначає похідну Лі за $X$, $d$ — зовнішній диференціал, а $X\;\lrcorner \;\omega$ — операцію підстановки $X$ в $\omega$.

Література

• Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds, Reading, Massachusetts: W.A. Benjamin, Inc., ISBN 0-8053-9021-9.