Похідна Лі тензорного поля за напрямком векторного поля  — головна лінійна частина приросту тензорного поля при його перетворенні, яке індуковане локальною однопараметричною групою дифеоморфізмів многовиду, що породжена полем .

Зазвичай позначається .

ОзначенняРедагувати

АксіоматичнеРедагувати

Похідна Лі повністю означається наступними своїми властивостями. Таке означення найбільш зручне для практичних обчислень, але вимагає доведення існування.

  • Похідна Лі   від скалярного поля   є похідною   за напрямком  .
     
  • Похідна Лі   від векторного поля   є дужка Лі векторних полів.
     
  • Для довільних векторних полів 1-форми   виконується рівність
     
  • (правило Лейбніца) Для довільних тензорних полів S і T, виконується
     

У явному виді, якщо T є тензорним полем типу (p, q) і α1, α2, ..., αq є гладкими кодотичними векторними полями (диференціальними 1-формами), а Y1, Y2, ..., Yp є гладкими векторними полями тоді похідна Лі T по напрямку X є тензорним полем того ж типу, що задається як

 
 
 

Через потікРедагувати

Нехай   —  -вимірний гладкий многовид і   — векторне поле на  .

Розглянемо потік   за  , що визначається співвідношенням:   Для кожної точки   існує такий окіл   і число   що потік   є визначений і взаємно однозначний для всіх   і   і також для кожного такого t відображення   буде дифеоморфізмом із U. Також якщо   то   тобто потік задає однопараметричну сім'ю локальних дифеоморфізмів.

Нехай тепер T є тензорним полем типу (p, q) і α1, α2, ..., αq є гладкими кодотичними векторними полями (диференціальними 1-формами), а Y1, Y2, ..., Yp є гладкими векторними полями.

Розглянемо взаємнообернені дифеоморфізми   і   задані за умов вказаних вище. Якщо   то   є тензором типу (p, q) на дотичному просторі многовида у точці   За допомогою дифеоморфізмів   і   цей тензор можна «переслати» на дотичний простір у точці m. А саме зворотний тензора щодо відображення тензора типу (p, q) щодо дифеоморфізму   (позначається  ) називається тензор, що у точці p є рівним:

 

У цьому виразі нижні індекси у кінці кожної сторін вказують у яких точках розглядаються відповідні тензори,   позначає диференціал відображення, а   — зворотне відображення диференційних форм при відображенні   тобто для довільної диференціальної форми   у точці m і вектора Y у точці   за означенням  

Похідна Лі може бути означена як

 

Еквівалентність означеньРедагувати

Якщо тензорне поле є скалярним полем, тобто гладкою функцією f, то   і   що доводить еквівалентність у цьому випадку.

Якщо тензорне поле є векторним полем Y, то   і еквівалентність одержується із еквівалентності різних означень дужок Лі у статті дужка Лі векторних полів.

Доведемо також еквівалентність у випадку коваріантних тензорів (зокрема диференціальних форм). Для цього спершу зауважимо, що за означенням для будь-якого дифеоморфізма   для будь якого p-коваріантного тензора   і векторних полів   зворотне відображення коваріантного тензора задовольняє рівності  

Звідси:

 

Другий доданок у попередньому виразі за означення є рівним   у точці m.

Перший доданок можна записати як:

 

Остання рівність одержується із того, що  Тоді, зважаючи на те, що всі векторні поля  , диференціали   і тензори   неперервно залежать від t, то границі   і   при   є рівними   а границя   є рівною  

Окрім того  

де остання рівність випливає із вказаної вище власивості для дужки Лі. Оскільки   є одиничним перетворенням, а   є неперервною по сукупності усіх аргументів, то остаточно  

Разом одержується вираз для похідної Лі.

Зокрема для 1-форми   звідси відразу випливає, що  

Для загального тензора доведення аналогічне лише застосовується більш загальна рівність  

Після цього як і вище розписується сума і використовуються вказані вище властивості для векторів і 1-форм. В порівнянні із попереднім частковим випадком єдиною принциповою відмінністю є те, що потрібно знайти границю   Із доведеного вище, а також властивостей   одержується, що   В іншому доведення аналогічне до попереднього.

Вираз у координатахРедагувати

 , де   — скаляр.

 , де   — вектор, а   — його компоненти.

 , де   — 1-форма, а   — її компоненти.

 , де   — 2-форма (метрика), а   — її компоненти.

Похідна Лі для тензорного поля у неголономному реперіРедагувати

Нехай тензорне поле К типу (p, q) задано в неголономному репері  , тоді його похідна Лі вздовж векторного поля Х задається наступною формулою:

 ,

де  , і введені наступні позначення:

 ,

 

  — об’єкт неголономності.

ВластивостіРедагувати

  •    -лінійно за   і за  . Тут   — довільне тензорне поле.
  • Похідна Лі — диференціювання на кільці тензорних полів.
  • На супералгебрі зовнішніх форм похідна Лі є диференціюванням і однорідним оператором ступеня 0.
  • Нехай   і   — векторні поля на многовиді, тоді
 
є диференціюванням алгебри  , тому існує векторне поле  , що називається дужкою Лі векторних полів (також скобка Пуассона або комутатор), для якого
 
  • Формула гомотопії.  . Тут   — оператор внутрішнього диференціювання форм. ( )
  • Як наслідок,  
  •  . Тут   — гладкий перетин (природного) векторного розшарування   (наприклад, будь-яке тензорне поле),   — підняття векторного поля   на  ,   — оператор вертикального проектування на  .

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. — 1981. — Т. 1. — 344 с.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е, перераб. — М. : Наука, 1986. — Т. 1. — 760 с.
  • Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Natural operations in differential geometry. — 1-е изд. — Springer, 1993. — 434 с. — ISBN 978-3540562351.
  • Morita, Shigeyuki (2001). Geometry of Differential Forms. Translations of mathematical monographs 201. AMS. ISBN 0-8218-1045-6.