Похідна Лі

Похідна Лі тензорного поля $Q$ за напрямком векторного поля $X$ — головна лінійна частина приросту тензорного поля $Q$ при його перетворенні, яке індуковане локальною однопараметричною групою дифеоморфізмів многовиду, що породжена полем $X$.

Зазвичай позначається ${\mathcal {L}}_{X}Q$.

Означення

Аксіоматичне

Похідна Лі повністю означається наступними своїми властивостями. Таке означення найбільш зручне для практичних обчислень, але вимагає доведення існування.

• Похідна Лі ${\mathcal {L}}_{X}f$ від скалярного поля $f$ є похідною $f$ за напрямком $X$.

  ${\mathcal {L}}_{X}f=Xf.$

• Похідна Лі ${\mathcal {L}}_{X}Y$ від векторного поля $Y$ є дужка Лі векторних полів.

  ${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y].$

• Для довільних векторних полів 1-форми $\alpha$ виконується рівність

  $({\mathcal {L}}_{X}\alpha )(Y)=(d\alpha )(X,Y)+Y\alpha (X)=X\alpha (Y)-\alpha ([X,Y]).$

• (правило Лейбніца) Для довільних тензорних полів S і T, виконується

  ${\mathcal {L}}_{X}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{X}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{X}T).$

У явному виді, якщо T є тензорним полем типу (p, q) і α¹, α², ..., α^q є гладкими кодотичними векторними полями (диференціальними 1-формами), а Y₁, Y₂, ..., Y_p є гладкими векторними полями тоді похідна Лі T по напрямку X є тензорним полем того ж типу, що задається як

$({\mathcal {L}}_{Y}T)(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,Y_{1},Y_{2},\ldots )=Y(T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,Y_{1},Y_{2},\ldots ))$

$-T({\mathcal {L}}_{X}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,Y_{1},Y_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},{\mathcal {L}}_{X}\alpha _{2},\ldots ,Y_{1},Y_{2},\ldots )-\ldots$

$-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{X}Y_{1},Y_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},{\mathcal {L}}_{X}Y_{2},\ldots )-\ldots$

Через потік

Нехай $M$ — $n$-вимірний гладкий многовид і $X$ — векторне поле на $M^{n}$.

Розглянемо потік $\Gamma _{X}^{t}:M\to M$ за $X$, що визначається співвідношенням: ${\frac {d}{dt}}\Gamma _{X}^{t}(p)=X_{\Gamma _{X}^{t}(p)}.$ Для кожної точки $p\in M$ існує такий окіл $m\in U\subset M$ і число $b\in \mathbb {R} ,$ що потік $\Gamma _{X}^{t}$ є визначений і взаємно однозначний для всіх $n\in U$ і $t\in (-b,b)$ і також для кожного такого t відображення $\Gamma _{X}^{t}$ буде дифеоморфізмом із U. Також якщо $t,s,t+s\in (-b,b)$ то $\Gamma _{X}^{(t+s)}=\Gamma _{X}^{t}\circ \Gamma _{X}^{s}$ тобто потік задає однопараметричну сім'ю локальних дифеоморфізмів.

Нехай тепер T є тензорним полем типу (p, q) і α¹, α², ..., α^q є гладкими кодотичними векторними полями (диференціальними 1-формами), а Y₁, Y₂, ..., Y_p є гладкими векторними полями.

Розглянемо взаємнообернені дифеоморфізми $\Gamma _{X}^{t}$ і $(\Gamma _{X}^{t})^{-1}$ задані за умов вказаних вище. Якщо $m\in U$ то $T(\Gamma _{X}^{t}(m))$ є тензором типу (p, q) на дотичному просторі многовида у точці $\Gamma _{X}^{t}(p).$ За допомогою дифеоморфізмів $\Gamma _{X}^{t}$ і $(\Gamma _{X}^{t})^{-1}$ цей тензор можна «переслати» на дотичний простір у точці m. А саме зворотний тензора щодо відображення тензора типу (p, q) щодо дифеоморфізму $\Gamma _{X}^{t}$ (позначається $(\Gamma _{X}^{t})^{*}T$) називається тензор, що у точці p є рівним:

$(\Gamma _{X}^{t})^{*}T(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{q},Y_{1},\ldots ,Y_{p})_{m}=T(((\Gamma _{X}^{t})^{-1})^{*}\alpha _{1},\ldots ,((\Gamma _{X}^{t})^{-1})^{*}\alpha _{q},d\Gamma _{X}^{t}Y_{1},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p})_{\Gamma _{X}^{t}(m)}.$

У цьому виразі нижні індекси у кінці кожної сторін вказують у яких точках розглядаються відповідні тензори, $d\Gamma _{X}^{t}$ позначає диференціал відображення, а $((\Gamma _{X}^{t})^{-1})^{*}$ — зворотне відображення диференційних форм при відображенні $\Gamma _{X}^{t})^{-1},$ тобто для довільної диференціальної форми $\alpha$ у точці m і вектора Y у точці $\Gamma _{X}^{t}(m)$ за означенням $((\Gamma _{X}^{t})^{-1})^{*}\alpha (Y)=\alpha (d(\Gamma _{X}^{t})^{-1}).$

Похідна Лі може бути означена як

${\mathcal {L}}_{X}T={\frac {d}{dt}}(\Gamma _{X}^{t})^{*}T|_{t=0}=\lim _{t\to 0}{\frac {(\Gamma _{X}^{t})^{*}T_{\Gamma _{X}^{t}(m)}-T_{m}}{t}}.$

Еквівалентність означень

Якщо тензорне поле є скалярним полем, тобто гладкою функцією f, то $(\Gamma _{X}^{t})^{*}f=f(\Gamma _{X}^{t})$ і $\lim _{t\to 0}{\frac {f(\Gamma _{X}^{t})-f(m)}{t}}=Xf,$ що доводить еквівалентність у цьому випадку.

Якщо тензорне поле є векторним полем Y, то ${\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]$ і еквівалентність одержується із еквівалентності різних означень дужок Лі у статті дужка Лі векторних полів.

Доведемо також еквівалентність у випадку коваріантних тензорів (зокрема диференціальних форм). Для цього спершу зауважимо, що за означенням для будь-якого дифеоморфізма $\varphi :M\to M$ для будь якого p-коваріантного тензора $T$ і векторних полів $Y_{1},\ldots ,Y_{p}$ зворотне відображення коваріантного тензора задовольняє рівності $\varphi ^{*}T(Y_{1},\ldots ,Y_{p})_{m}=T(d\varphi Y_{1},\ldots ,d\varphi Y_{p}))_{\varphi _{m}}.$

Звідси:

$\lim _{t\to 0}{\frac {(\Gamma _{X}^{t})^{*}T_{\Gamma _{X}^{t}(m)}(Y_{1},\ldots ,Y_{p})-T_{m}(Y_{1},\ldots ,Y_{p})}{t}}=\lim _{t\to 0}{\frac {T(d\Gamma _{X}^{t}Y_{1},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p}))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}-T(Y_{1},\ldots ,Y_{p}))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}}{t}}+\lim _{t\to 0}{\frac {T(Y_{1},\ldots ,Y_{p}))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}-T(Y_{1},\ldots ,Y_{p})_{m}}{t}}.$

Другий доданок у попередньому виразі за означення є рівним $X(T(Y_{1},\ldots ,Y_{p}))$ у точці m.

Перший доданок можна записати як:

${\begin{aligned}\lim _{t\to 0}{\frac {T(d\Gamma _{X}^{t}Y_{1},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p}))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}-T(Y_{1},\ldots ,Y_{p}))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}}{t}}=\\\lim _{t\to 0}{\frac {T(d\Gamma _{X}^{t}Y_{1},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p}))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}-T(Y_{1},d\Gamma _{X}^{t}Y_{2},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p})))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}}{t}}+\\\lim _{t\to 0}{\frac {T(Y_{1},d\Gamma _{X}^{t}Y_{2},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p})))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}-T(Y_{1},Y_{2},d\Gamma _{X}^{t}Y_{3},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p})))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}}{t}}+\\\ldots +\\\lim _{t\to 0}{\frac {T(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{p-1},d\Gamma _{X}^{t}Y_{p})))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}-T(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{p})))_{\Gamma _{X}^{t}(m)}}{t}}=\\-\sum _{i=1}^{p}T(Y_{1},\ldots ,[X,Y_{i}],\ldots ,Y_{p}).\end{aligned}}$

Остання рівність одержується із того, що ${\frac {T(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{i-1},d\Gamma _{X}^{t}Y_{i},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p})_{\Gamma _{X}^{t}(m)}-T(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{i-1},Y_{i},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p})_{\Gamma _{X}^{t}(m)}}{t}}=T\left(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{i-1},{\frac {d\Gamma _{X}^{t}Y_{i}-Y_{i}}{t}},\ldots ,d\Gamma _{X}^{t}Y_{p}\right)_{\Gamma _{X}^{t}(m)}.$Тоді, зважаючи на те, що всі векторні поля $(Y_{i})_{\Gamma _{X}^{t}}$, диференціали $d\Gamma _{X}^{t}$ і тензори $T_{\Gamma _{X}^{t}}$ неперервно залежать від t, то границі $(Y_{i})_{\Gamma _{X}^{t}}$ і $d\Gamma _{X}^{t}Y_{i}$ при $t\to 0$ є рівними $(Y_{i})_{m},$ а границя $T_{\Gamma _{X}^{t}}$ є рівною $T_{m}.$

Окрім того $\lim _{t\to 0}{\frac {(d\Gamma _{X}^{t}Y_{i}-Y_{i})_{\Gamma _{X}^{t}}}{t}}=\lim _{t\to 0}(d\Gamma _{X}^{t})\left({\frac {Y_{i}-(d\Gamma _{X}^{t})^{-1}Y_{i}}{t}}\right)_{m}=-\lim _{t\to 0}(d\Gamma _{X}^{t})[X,Y_{i}]_{m},$

де остання рівність випливає із вказаної вище властивості для дужки Лі. Оскільки $d\Gamma _{X}^{0}$ є одиничним перетворенням, а $d\Gamma _{X}^{t}$ є неперервною по сукупності усіх аргументів, то остаточно $\lim _{t\to 0}{\frac {(d\Gamma _{X}^{t}Y_{i}-Y_{i})_{\Gamma _{X}^{t}}}{t}}=-[X,Y_{i}]_{m}.$

Разом одержується вираз для похідної Лі.

Зокрема для 1-форми $\alpha$ звідси відразу випливає, що $({\mathcal {L}}_{X}\alpha )(Y)=X\alpha (Y)-\alpha ([X,Y]).$

Для загального тензора доведення аналогічне лише застосовується більш загальна рівність $\varphi ^{*}T(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{q},Y_{1},\ldots ,Y_{p})_{m}=T((\varphi ^{-1})^{*}\alpha _{1},\ldots ,(\varphi ^{-1})^{*}\alpha _{q},d\varphi Y_{1},\ldots ,d\varphi Y_{p}))_{\varphi _{m}}.$

Після цього як і вище розписується сума і використовуються вказані вище властивості для векторів і 1-форм. В порівнянні із попереднім частковим випадком єдиною принциповою відмінністю є те, що потрібно знайти границю $\lim _{t\to 0}{\frac {((\Gamma _{X}^{t})^{-1})^{*}\alpha _{i}-\alpha _{i})_{\Gamma _{X}^{t}}}{t}}.$ Із доведеного вище, а також властивостей $((\Gamma _{X}^{t})^{-1})^{*}$ одержується, що $\lim _{t\to 0}{\frac {((\Gamma _{X}^{t})^{-1})^{*}\alpha _{i}-\alpha _{i})_{\Gamma _{X}^{t}}}{t}}=-{\mathcal {L}}_{X}\alpha .$ В іншому доведення аналогічне до попереднього.

Вираз у координатах

${\mathcal {L}}_{\xi }f=\xi ^{k}\partial _{k}f$, де $f$ — скаляр.

${\mathcal {L}}_{\xi }y=\xi ^{k}\partial _{k}y^{i}-y^{k}\partial _{k}\xi ^{i}$, де $y$ — вектор, а $y^{i}$ — його компоненти.

${\mathcal {L}}_{\xi }\omega =\xi ^{k}\partial _{k}\omega _{i}+\omega _{k}\partial _{i}\xi ^{k}$, де $\omega$ — 1-форма, а $\omega _{i}$ — її компоненти.

${\mathcal {L}}_{\xi }g=\xi ^{k}\partial _{k}g_{ij}+\partial _{i}\xi ^{k}g_{kj}+\partial _{j}\xi ^{k}g_{ik}$, де $g$ — 2-форма (метрика), а $g_{ij}$ — її компоненти.

Похідна Лі для тензорного поля у неголономному репері

Нехай тензорне поле К типу (p, q) задано в неголономному репері $\{e_{\alpha }\}$, тоді його похідна Лі вздовж векторного поля Х задається наступною формулою:

$({\mathcal {L}}_{X}K)_{(\beta )}^{(\alpha )}=XK_{(\beta )}^{(\alpha )}-\{K_{(\beta )}^{(\alpha )}P_{*}^{*}\}$,

де $(\alpha )=(\alpha _{1}...\alpha _{p}),(\beta )=(\beta _{1}...\beta _{q})$, і введені наступні позначення:

$\{K_{(\beta )}^{(\alpha )}P_{*}^{*}\}=\sum _{s=1}^{p}K_{(\beta )}^{\alpha _{1}...\sigma ...\alpha _{p}}P_{\sigma }^{\alpha _{s}}-\sum _{s=1}^{q}K_{\beta _{1}...\sigma ...\beta _{q}}^{(\alpha )}P_{\beta _{s}}^{\sigma }$,

$P_{\beta }^{\alpha }=e_{\beta }\xi ^{\alpha }-R_{\sigma \beta }^{\alpha }\xi ^{\sigma }$

$R_{\alpha \beta }^{\sigma }e_{\sigma }=[e_{\alpha },e_{\beta }]$ — об’єкт неголономності.

Властивості

• ${\mathcal {L}}_{X}(s)$ $\mathbb {R}$-лінійно за $X$ і за $s$. Тут $s$ — довільне тензорне поле.
• Похідна Лі — диференціювання на кільці тензорних полів.
• На супералгебрі зовнішніх форм похідна Лі є диференціюванням і однорідним оператором ступеня 0.
• Нехай $v$ і $u$ — векторні поля на многовиді, тоді

$[{\mathcal {L}}_{v},{\mathcal {L}}_{u}]={\mathcal {L}}_{v}{\mathcal {L}}_{u}-{\mathcal {L}}_{u}{\mathcal {L}}_{v}$

є диференціюванням алгебри $C^{\infty }(M)$, тому існує векторне поле $[v,u]$, що називається дужкою Лі векторних полів (також дужка Пуассона або комутатор), для якого

${\mathcal {L}}_{[v,u]}=[{\mathcal {L}}_{v},{\mathcal {L}}_{u}].$

• Формула гомотопії. ${\mathcal {L}}_{v}=i_{v}d+di_{v}$. Тут $i_{v}$ — оператор внутрішнього диференціювання форм. ($(i_{v}\omega )(X_{1},\dots ,X_{k-1})=\omega (v,X_{1},\dots ,X_{k-1}$)
• Як наслідок, ${\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,\;\omega \in \Lambda ^{*}(M)$
• ${\mathcal {L}}_{X}(s)=\mathop {vpr} _{F}(Ts\circ X-X^{F}\circ s)$. Тут $s$ — гладкий перетин (природного) векторного розшарування $F$ (наприклад, будь-яке тензорне поле), $X^{F}$ — підняття векторного поля $X$ на $F$, $\mathop {vpr} _{F}$ — оператор вертикального проектування на $F$.

Див. також

• Поле Кілінга
• Дужка Лі векторних полів

Література

• Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. — 1981. — Т. 1. — 344 с.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е, перераб. — М. : Наука, 1986. — Т. 1. — 760 с.
• Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Natural operations in differential geometry. — 1-е изд. — Springer, 1993. — 434 с. — ISBN 978-3540562351.
• Morita, Shigeyuki (2001), Geometry of Differential Forms, Translations of mathematical monographs, т. 201, AMS, ISBN 0-8218-1045-6