Диференціювання (алгебра)

В алгебрі диференціювання — операція, що узагальнює властивості різних класичних похідних і дозволяє ввести диференційно-геометричні ідеї в алгебраїчну геометрію. Спершу поняття було введено для дослідження інтегрованості в елементарних функціях алгебраїчними методами.

Визначення

Нехай $A$ — алгебра над кільцем $R$. Диференціюванням алгебри $A$ називається $R$-лінійне відображення $\partial :A\to A$, що задовольняє правилу добутку:

$\partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)$

Більш загально диференціюванням комутативної алгебри $A$ із значеннями в $A$-модулі $M$ називається $R$-лінійне відображення $\partial :A\to M$, що задовольняє правилу добутку. В цьому випадку $M$ називають диференційним модулем над $A.$ Множина всіх диференціювань із значеннями в $M$ позначається $\mathrm {D} (M)$ ($\mathrm {Der} (M)$, $\mathrm {Der} _{R}(A,M)$) і є $A$-модулем.

Властивості

• На $\mathrm {D} (A)$ можна природно ввести структуру алгебр Лі: $\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}\in \mathrm {D} (A)\implies [\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}]=\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2}-\mathrm {D} _{2}\circ \mathrm {D} _{1}\in \mathrm {D} (A)$
• Якщо x₁, x₂, ..., x_n ∈ A, тоді методом математичної індукції:

$D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}=\sum _{i}D(x_{i})\prod _{j\neq i}x_{j}$

(остання рівність справедлива, якщо для всіх $i,\ D(x_{i})$ комутує з $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{i-1}$).

• Зокрема якщо A є комутативною і x₁ = x₂ = ... = x_n, то D(xⁿ) = nxⁿ⁻¹D(x).
• Якщо алгебра A має одиничний елемент 1, то D(1) = 0 оскільки D(1) = D(1·1) = D(1) + D(1). Крім того оскільки D є K-лінійною, для всіх x ∈ K, D(x) = D(x·1) = x·D(1) = 0.
• Якщо k ⊂ K є підкільцем, і A є k-алгеброю, тоді справедливим є включення

$\operatorname {Der} _{K}(A,M)\subset \operatorname {Der} _{k}(A,M),$

Градуйоване диференціювання

Нехай $A$ — $\mathbb {Z}$-градуйована алгебра, градуювання елемента $a\in A$ позначимо $|a|$. Правильним аналогом диференціювань в цьому випадку є градуйовані дифференціювання, породжені однорідними відображеннями $\mathrm {D} :A\to A$ степеня $|\mathrm {D} |$, що задовільняють градуйованим тотожностям ($\varepsilon =\pm 1$):

$\mathrm {D} (ab)=(\mathrm {D} a)b+\varepsilon ^{|a||\mathrm {D} |}a(\mathrm {D} b)$

Якщо $\varepsilon =1$, то градуийовані диференціювання рівні звичайним. Якщо $\varepsilon =-1$, то їх зазвичай називають супердиференціюваннями. Супердиференціювання утворюють супералгебру Лі відносно суперкомутатора

$[\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}]=\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2}-(-1)^{|\mathrm {D} _{1}||\mathrm {D} _{2}|}\mathrm {D} _{2}\circ \mathrm {D} _{1}$

Прикладами супердиференціювань є внутрішнє і зовнішнє диференціювання на кільці диференціальних форм.

Література

• Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Elements of mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• Kolar, Ivan; Slovak, Jan; Michor, Peter W. (1993), Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, архів оригіналу за 14 лютого 2021, процитовано 2 грудня 2016.

Див. також

• Диференціальна алгебра