Відкрити головне меню

Правило добутку — характерна властивость диференціальних операторів, також відома як тотожність Лейбніца.

Найважливішим і найпростішим прикладом є диференціювання функцій дійсної змінної. Якщо — дві диференційовні функції, то:

Подібна формула справедлива і для голоморфних функцій комплексної змінної.

Окрім аналізу диференціальні оператори часто виникають в диференціальній геометрії, абстрактній алгебрі, теорії груп Лі.

Доведення для функцій дійсної змінноїРедагувати

Нехай  , і фунції f, g — диференційовні в точці x. Тоді з властивостей границь одержуються наступні рівності, які доводять правило добутку для функцій дійсної змінної:

 
 
 
 
 .

Варіації та узагальненняРедагувати

  • Нехай   — деякі 'k' елементів на яких діє оператор диференціювання (наприклад функції дійсної змінної диференційовні в певній точці для прикладу звичайної похідної). Тоді за допомогою математичної індукції правило добутку можна узагальнити для випадку добутку 'k' елементів:
 


  • Позначивши   і т. д. для оператора   справедлива формула аналогічна до формули бінома Ньютона:
 
Для випадку добутку багатьох елементів справедлива формула аналогічна до поліноміальної формули:
 


Операція   на градуйованій алгебрі   задовільняє градуйованій тотожності Лейбніца, якщо для будь-яких  ,  

 

де   — множення в  . Більшість диференціювань на алгебрі диференціальних форм задовільняє цій тотожності.

ДжерелаРедагувати