Правило добутку

Правило добутку — характерна властивість диференціальних операторів, також відома як тотожність Лейбніца.

\ \delta (f\times g)=(\delta f)\times g+f\times (\delta g)

Найважливішим і найпростішим прикладом є диференціювання функцій дійсної змінної. Якщо $f,g$ — дві диференційовні функції, то:

(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,\!

Подібна формула справедлива і для голоморфних функцій комплексної змінної.

Окрім аналізу диференціальні оператори часто виникають в диференціальній геометрії, абстрактній алгебрі, теорії груп Лі.

Доведення для функцій дійсної змінної ред.

Нехай $h(x)=f(x)g(x)$ , і функції f, g — диференційовні в точці x. Тоді з властивостей границь одержуються наступні рівності, які доводять правило добутку для функцій дійсної змінної:

h'(x)=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {h(x+\Delta {x})-h(x)}{\Delta {x}}}=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}

=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x+\Delta {x})+f(x)g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}

=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {[f(x+\Delta {x})-f(x)]\cdot g(x+\Delta {x})+f(x)\cdot [g(x+\Delta {x})-g(x)]}{\Delta {x}}}

=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})-f(x)}{\Delta {x}}}\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}g(x+\Delta {x})+\lim _{\Delta {x}\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {g(x+\Delta {x})-g(x)}{\Delta {x}}}

=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

.

Варіації та узагальнення ред.

Нехай $f_{1},\dots ,f_{k}$ — деякі k елементів на яких діє оператор диференціювання (наприклад функції дійсної змінної диференційовні в певній точці для прикладу звичайної похідної). Тоді за допомогою математичної індукції правило добутку можна узагальнити для випадку добутку 'k' елементів:

\delta \left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\delta (f_{i}(x))\prod _{j\neq i}f_{j}(x)\right).

Позначивши $\delta ^{2}(f)=\delta (\delta (f)),\,\delta ^{3}(f)=\delta (\delta ^{2}(f))$ і т. д. для оператора $\delta ^{n}$ справедлива формула аналогічна до формули бінома Ньютона:

\delta ^{n}(fg)=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}\cdot \delta ^{k}(f)\cdot \delta ^{n-k}(g).

Для випадку добутку багатьох елементів справедлива формула аналогічна до поліноміальної формули:

\delta ^{n}\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)=\sum _{j_{1}+j_{2}+...+j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},...,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}\delta ^{i}{f_{i}}.

Формули для похідних добутку функцій можна узагальнити на випадок функцій багатьох змінних. Нехай $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ і $g(x_{1},\ldots ,x_{n})$ є дійсними функціями n дійсних змінних, диференційовними необхідну кількість разів по різних змінних, $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$ і за означенням $\partial ^{\alpha }(f)=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}(f)={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.$ Тоді
$\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leqslant \alpha }{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.$ Означення біноміальних коефіцієнтів, факторіалів для мультиіндексів дано у статті Мультиіндекс.
Операція $\delta _{l}\colon \oplus _{k}\Omega ^{k}\to \oplus _{k}\Omega ^{k+l}$ на градуйованій алгебрі $\Omega =\oplus _{k}\Omega ^{k}$ задовольняє градуйованій тотожності Лейбніца, якщо для будь-яких $K\in \Omega ^{k}$ , $F\in \Omega$