Відкрити головне меню

Симплектичний многовид

(Перенаправлено з Симплектична форма)

Симплектичний многовид — це многовид із заданою на ньому симплектичною формою, тобто замкнутою невиродженою диференціальною 2-формою.

Симплектичний многовид дозволяє природнім геометричним чином ввести механіку Гамільтона і дає наочне тлумачення багатьом її властивостям.

ОзначенняРедагувати

Диференціальна 2-форма   називається симплектичною структурою, якщо вона невироджена і замкнута, тобто її зовнішня похідна дорівнює нулю:

 

і для будь-якого ненульового дотичного вектора  

 

де   — операція підстановки вектора  .

Многовид   називається симплектичним, якщо на ньому задана симплектична структура.

Гамільтонові векторні поляРедагувати

Нехай   — довільна функція на симплектичному многовиді. Симплектична структура ставить у відповідність 1-формам на   особливий клас векторних полів, які називаються гамільтоновими, за правилом

 

В силу невиродженості форми   векторне поле   визначене однозначно, позначимо його  . У канонічних координатах це відображення набуває вигляду

 

що відповідає рівнянням Гамільтона, при цьому   називається функцією Гамільтона або гамільтоніаном. Дужки Пуассона перетворюють множину гамільтоніанів на   у алгебру Лі і визначені за правилом

 

Пов'язані означенняРедагувати

  • Дифеоморфізм симплектичних многовидів   називається симплектоморфізмом, якщо він зберігає симплектичну структуру.

ВластивостіРедагувати

  • Теорема Дарбу: всі симплектичні многовиди локально симплектоморфні. Таким чином, в околі будь-якої точки многовиду можна вибрати канонічні координати, звані також координатами Дарбу, в яких симплектична структура набуває вигляду
 
При цьому в дотичному просторі кожної точки в даному околі виявляється обраний базис Дарбу.
  • Гамільтонів фазовий потік зберігає симплектичну структуру:
 
Тут   — похідна Лі за векторним полем  . Таким чином, гамільтонів фазовий потік є симплектоморфізмом.

Контактна структураРедагувати

З кожним симплектичним 2n-мірним многовидом канонічним чином пов'язаний (2n + 1)-мірним контактний многовид, званий його контактизацією. Обернено, для будь-якого (2n + 1)-мірного контактного многовиду існує його симплектизація, що є (2n + 2)-мірним многовидом.

УзагальненняРедагувати

Многовид називається мультисимплектичним ступня  , якщо на ньому задана замкнута невироджена диференціальна k-форма.

ЛітератураРедагувати

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М. : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 прим. — ISBN 5-354-00341-5.
  • Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-ое изд. — Ижевск: РХД, 2000. — 168с.
  • Тирринг В. Курс математической и теоретической физики. — К. : TIMPANI, 2004. — 1040 с.
  • Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: Изд. МГУ, 1988. — 414с.