Теорема про неявну функцію

Теорема про неявну функцію — загальна назва для теорем, що гарантують локальне існування і описують властивості неявної функції, тобто функції

$y=f(x)$,   $f:X\to Y$,

заданої рівнянням

$F(x,y)=0$,   $F:X\times Y\to Z$.

Одновимірний випадок

Проста теорема про неявну функцію полягає в наступному.

Якщо функція $F:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

• Неперервна у деякому околі точки $(x_{0},y_{0})$
• $F(x_{0},y_{0})=0$ і
• При фіксованому $x$, функція $F(x,y)$ строго монотонна по $y$ у даному околі

тоді у деякому двовимірному проміжку $I=I_{x}\times I_{y}$, що є околом точки $(x_{0},y_{0})$, і така неперервна функція $f:I_{x}\to I_{y}$, що для будь-якої точки $(x,y)\in I$

$F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)$

Звичайно додатково передбачається, що функція $F$ неперервно диференційовна, в цьому випадку умова монотонності випливає з того що $F_{y}'(x_{0},y_{0})\neq 0\quad$, тут $F_{y}'$ позначає часткову похідну $F$ по $y$. Більш того, в цьому випадку, похідна функції $f$ може бути обчислена за формулою

$f'(x)=-{\frac {F_{x}'(x,f(x))}{F_{y}'(x,f(x))}}.$

Багатовимірний випадок

Нехай $\mathbb {R} ^{n}$ і $\mathbb {R} ^{m}$ — $n$ і $m$-вимірні евклідові простори з фіксованими системами координат, точки яких відповідно $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ і $y=(y_{1},\dots ,y_{m})$. Нехай $F$ відображає деякий окіл $W$ точки $(x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}$ у простір $\mathbb {R} ^{m}$ і $F_{1},F_{2},\ldots ,F_{m}$ — координатні функції (від змінних $x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{m}$) відображення $F$, тобто $F=(F_{1},F_{2},\ldots ,F_{m})$.

Припустимо, що $F(x_{0},y_{0})=0$ і відображення $F$ — неперервно диференційовне в околі $W$, а якобіан відображення $y\mapsto F(x_{0},y)$ не рівний нулю в точці $y_{0}$, тобто визначник матриці ${\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0})$ не рівний нулю. Тоді існують околи $U$ і $V$ точок $x_{0}$ і $y_{0}$ відповідно в просторах $\mathbb {R} ^{n}$ і $\mathbb {R} ^{m}$, причому $U\times V\subset W$, і єдине відображення $f:U\to V$, таке, що для всіх $x\in U$ виконується тотожність $F(x,f(x))=0\,$. При цьому $f(x_{0})=y_{0}$ і відображення $f$ є $k$ раз неперервно диференційовним на $U$. Якщо функція F є неперерфно диференційовною до порядку k в множині U×V, то такою ж є і функція f у множині U і виконується

${\frac {df}{dx_{j}}}(x)=-\left({\frac {\partial F}{\partial y}}(x,f(x))\right)^{-1}{\frac {\partial F}{\partial x_{j}}}(x)$.

Узагальнення

Банахові простори

Нехай $X$, $Y$, $Z$ — банахові простори. Нехай відображення $f:X\times Y\to Z$ — диференційовне за Фреше. Якщо $(x_{0},y_{0})\in X\times Y$, $f(x_{0},y_{0})=0$, і $y\mapsto Df(x_{0},y_{0})(0,y)$ — ізоморфізм банахових просторів $Y$ і $Z$, тоді існують околи $U$ точки $x_{0}$ і $V$ точки $y_{0}$ і диференційовне за Фреше відображення $g:U\to V$, таке що $f(x,g(x))=0$ і $f(x,y)=0$ якщо і тільки якщо $y=g(x)$, для всіх $(x,y)\in U\times V$.

Випадок не диференційовних функцій

Розглянемо неперервне відображення $f:R^{n}\times R^{m}\rightarrow R^{n}$ таке що $f(x_{0},y_{0})=0$. Якщо існують відкриті околи $A\subset R^{n}$ і $B\subset R^{m}$ точок $x_{0}$ і $y_{0}$, такі що для всіх $y\in B$, $f(\cdot ,y):A\rightarrow R^{n}$ є локально бієктивним тоді існують околи $A_{0}\subset R^{n}$ і $B_{0}\subset R^{m}$ точок $x_{0}$ і $y_{0}$, такі що, для всіх $y\in B_{0}$, рівняння

$f(x,y)=0$

має єдиний розв'язок

$x=g(y)\in A_{0}$,

де $g$ є неперервна функція з $B_{0}$ на $A_{0}$.

Література

• Зорич В. А., Математический анализ, Любое издание.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975;