Проста теорема про неявну функцію полягає в наступному.
Якщо функція
F
:
R
×
R
→
R
{\displaystyle F:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
Неперервна у деякому околі точки
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
F
(
x
0
,
y
0
)
=
0
{\displaystyle F(x_{0},y_{0})=0}
і
При фіксованому
x
{\displaystyle x}
, функція
F
(
x
,
y
)
{\displaystyle F(x,y)}
строго монотонна по
y
{\displaystyle y}
у даному околі тоді у деякому двовимірному проміжку
I
=
I
x
×
I
y
{\displaystyle I=I_{x}\times I_{y}}
, що є околом точки
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
, і така неперервна функція
f
:
I
x
→
I
y
{\displaystyle f:I_{x}\to I_{y}}
, що для будь-якої точки
(
x
,
y
)
∈
I
{\displaystyle (x,y)\in I}
F
(
x
,
y
)
=
0
⇔
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle F(x,y)=0\Leftrightarrow y=f(x)}
Звичайно додатково передбачається, що функція
F
{\displaystyle F}
неперервно диференційовна , в цьому випадку умова монотонності випливає з того що
F
y
′
(
x
0
,
y
0
)
≠
0
{\displaystyle F_{y}'(x_{0},y_{0})\neq 0\quad }
, тут
F
y
′
{\displaystyle F_{y}'}
позначає часткову похідну
F
{\displaystyle F}
по
y
{\displaystyle y}
.
Більш того, в цьому випадку, похідна функції
f
{\displaystyle f}
може бути обчислена за формулою
f
′
(
x
)
=
−
F
x
′
(
x
,
f
(
x
)
)
F
y
′
(
x
,
f
(
x
)
)
.
{\displaystyle f'(x)=-{\frac {F_{x}'(x,f(x))}{F_{y}'(x,f(x))}}.}
Багатовимірний випадок Редагувати
Нехай
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
і
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
—
n
{\displaystyle n}
і
m
{\displaystyle m}
-вимірні евклідові простори з фіксованими системами координат, точки яких відповідно
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}
і
y
=
(
y
1
,
…
,
y
m
)
{\displaystyle y=(y_{1},\dots ,y_{m})}
.
Нехай
F
{\displaystyle F}
відображає деякий окіл
W
{\displaystyle W}
точки
(
x
0
,
y
0
)
∈
R
n
×
R
m
{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}}
у простір
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
і
F
1
,
F
2
,
…
,
F
m
{\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots ,F_{m}}
— координатні функції (від змінних
x
1
,
…
,
x
n
,
y
1
,
…
,
y
m
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{m}}
) відображення
F
{\displaystyle F}
, тобто
F
=
(
F
1
,
F
2
,
…
,
F
m
)
{\displaystyle F=(F_{1},F_{2},\ldots ,F_{m})}
.
Припустимо, що
F
(
x
0
,
y
0
)
=
0
{\displaystyle F(x_{0},y_{0})=0}
і відображення
F
{\displaystyle F}
— неперервно диференційовне в околі
W
{\displaystyle W}
, а якобіан відображення
y
↦
F
(
x
0
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto F(x_{0},y)}
не рівний нулю в точці
y
0
{\displaystyle y_{0}}
, тобто визначник матриці
∂
F
∂
y
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x_{0},y_{0})}
не рівний нулю. Тоді існують околи
U
{\displaystyle U}
і
V
{\displaystyle V}
точок
x
0
{\displaystyle x_{0}}
і
y
0
{\displaystyle y_{0}}
відповідно в просторах
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
і
R
m
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
, причому
U
×
V
⊂
W
{\displaystyle U\times V\subset W}
, і єдине відображення
f
:
U
→
V
{\displaystyle f:U\to V}
, таке, що для всіх
x
∈
U
{\displaystyle x\in U}
виконується тотожність
F
(
x
,
f
(
x
)
)
=
0
{\displaystyle F(x,f(x))=0\,}
. При цьому
f
(
x
0
)
=
y
0
{\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}
і відображення
f
{\displaystyle f}
є
k
{\displaystyle k}
раз неперервно диференційовним на
U
{\displaystyle U}
.
Якщо функція F є неперерфно диференційовною до порядку k в множині U×V , то такою ж є і функція f у множині U і виконується
d
f
d
x
j
(
x
)
=
−
(
∂
F
∂
y
(
x
,
f
(
x
)
)
)
−
1
∂
F
∂
x
j
(
x
)
{\displaystyle {\frac {df}{dx_{j}}}(x)=-\left({\frac {\partial F}{\partial y}}(x,f(x))\right)^{-1}{\frac {\partial F}{\partial x_{j}}}(x)}
.
Нехай
X
{\displaystyle X}
,
Y
{\displaystyle Y}
,
Z
{\displaystyle Z}
— банахові простори . Нехай відображення
f
:
X
×
Y
→
Z
{\displaystyle f:X\times Y\to Z}
— диференційовне за Фреше . Якщо
(
x
0
,
y
0
)
∈
X
×
Y
{\displaystyle (x_{0},y_{0})\in X\times Y}
,
f
(
x
0
,
y
0
)
=
0
{\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}
, і
y
↦
D
f
(
x
0
,
y
0
)
(
0
,
y
)
{\displaystyle y\mapsto Df(x_{0},y_{0})(0,y)}
— ізоморфізм банахових просторів
Y
{\displaystyle Y}
і
Z
{\displaystyle Z}
, тоді існують околи
U
{\displaystyle U}
точки
x
0
{\displaystyle x_{0}}
і
V
{\displaystyle V}
точки
y
0
{\displaystyle y_{0}}
і диференційовне за Фреше відображення
g
:
U
→
V
{\displaystyle g:U\to V}
, таке що
f
(
x
,
g
(
x
)
)
=
0
{\displaystyle f(x,g(x))=0}
і
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
якщо і тільки якщо
y
=
g
(
x
)
{\displaystyle y=g(x)}
, для всіх
(
x
,
y
)
∈
U
×
V
{\displaystyle (x,y)\in U\times V}
.
Випадок не диференційовних функцій[1] Редагувати
Розглянемо неперервне відображення
f
:
R
n
×
R
m
→
R
n
{\displaystyle f:R^{n}\times R^{m}\rightarrow R^{n}}
таке що
f
(
x
0
,
y
0
)
=
0
{\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}
. Якщо існують відкриті околи
A
⊂
R
n
{\displaystyle A\subset R^{n}}
і
B
⊂
R
m
{\displaystyle B\subset R^{m}}
точок
x
0
{\displaystyle x_{0}}
і
y
0
{\displaystyle y_{0}}
, такі що для всіх
y
∈
B
{\displaystyle y\in B}
,
f
(
⋅
,
y
)
:
A
→
R
n
{\displaystyle f(\cdot ,y):A\rightarrow R^{n}}
є локально бієктивним тоді існують околи
A
0
⊂
R
n
{\displaystyle A_{0}\subset R^{n}}
і
B
0
⊂
R
m
{\displaystyle B_{0}\subset R^{m}}
точок
x
0
{\displaystyle x_{0}}
і
y
0
{\displaystyle y_{0}}
,
такі що, для всіх
y
∈
B
0
{\displaystyle y\in B_{0}}
, рівняння
f
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle f(x,y)=0}
має єдиний розв'язок
x
=
g
(
y
)
∈
A
0
{\displaystyle x=g(y)\in A_{0}}
,де
g
{\displaystyle g}
є неперервна функція з
B
0
{\displaystyle B_{0}}
на
A
0
{\displaystyle A_{0}}
.
↑ S. Kumagai, "An implicit function theorem: Comment," Journal of Optimization Theory and Applications , 31(2):285-288, June 1980.
Зорич В. А., Математический анализ, Любое издание.
Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.
Колмогоров А. Н. , Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа . — 4-е изд. — Москва : Наука , 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4 .(рос.)
Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975;