Теорема про неявну функцію

Теорема про неявну функцію — загальна назва для теорем, що гарантують локальне існування і описують властивості неявної функції, тобто функції

,   ,

заданої рівнянням

,   .

Одновимірний випадокРедагувати

Проста теорема про неявну функцію полягає в наступному.

Якщо функція  

  • Неперервна у деякому околі точки  
  •   і
  • При фіксованому  , функція   строго монотонна по   у даному околі

тоді у деякому двовимірному проміжку  , що є околом точки  , і така неперервна функція  , що для будь-якої точки  

 

Звичайно додатково передбачається, що функція   неперервно диференційовна, в цьому випадку умова монотонності випливає з того що  , тут   позначає часткову похідну   по  . Більш того, в цьому випадку, похідна функції   може бути обчислена за формулою

 

Багатовимірний випадокРедагувати

Нехай   і    і  -вимірні евклідові простори з фіксованими системами координат, точки яких відповідно   і  . Нехай   відображає деякий окіл   точки   у простір   і   — координатні функції (від змінних  ) відображення  , тобто  .

Припустимо, що   і відображення   — неперервно диференційовне в околі  , а якобіан відображення   не рівний нулю в точці  , тобто визначник матриці   не рівний нулю. Тоді існують околи   і   точок   і   відповідно в просторах   і  , причому  , і єдине відображення  , таке, що для всіх   виконується тотожність  . При цьому   і відображення   є   раз неперервно диференційовним на  . Якщо функція F є неперерфно диференційовною до порядку k в множині U×V, то такою ж є і функція f у множині U і виконується

 .

УзагальненняРедагувати

Банахові просториРедагувати

Нехай  ,  ,  банахові простори. Нехай відображення  диференційовне за Фреше. Якщо  ,  , і  ізоморфізм банахових просторів   і  , тоді існують околи   точки   і   точки   і диференційовне за Фреше відображення  , таке що   і   якщо і тільки якщо  , для всіх  .

Випадок не диференційовних функцій[1]Редагувати

Розглянемо неперервне відображення   таке що  . Якщо існують відкриті околи   і   точок   і  , такі що для всіх  ,   є локально бієктивним тоді існують околи   і   точок   і  , такі що, для всіх  , рівняння

 

має єдиний розв'язок

 ,

де   є неперервна функція з   на  .

ПриміткиРедагувати

  1. S. Kumagai, "An implicit function theorem: Comment," Journal of Optimization Theory and Applications, 31(2):285-288, June 1980.

ЛітератураРедагувати