Напівнеперервна функція

Напівнеперервність в математичному аналізі — це властивість функції більш слабка, ніж неперервність. Функція є напівнеперервною зверху в точці, якщо значення функції в близьких точках є близькими або меншими від значення значення функції в ній. Функція є напівнеперервною знизу в точці, якщо значення функції в близьких точках є близькими або більшими значення функції в ній.

напівнеперервна зверху функція.
напівнеперервна знизу функція.

Визначення

ред.

Нехай   — топологічний простір,   і   функція зі значеннями у множині розширених дійсних чисел.

Функція   називається неперервною зверху (знизу) в точці   якщо для довільного   існує окіл   точки   такий, що   якщо , і   прямує до   коли   прямує до   якщо  .

У випадку метричного простору   ці умови можна записати так

 
де   позначає точну верхню границю.

Функція   називається напівнеперервною зверху (знизу) на  , якщо вона є напівнеперервною зверху (знизу) для всіх  .

Альтернативно функція є напівнеперервною зверху (знизу) на   якщо   множина   є відкритою. Ввівши в множині дійсних чисел топологію   для топологічного простору   маємо, що функція   є напівнеперервною зверху, тоді і тільки тоді коли вона є неперервною в новій топології дійсних чисел:  . Для подібного визначення неперервності знизу для дійсних чисел слід ввести топологію   Дані означення можна узагальнити на довільну лінійно впорядковану множину з подібним визначенням топології.

Приклади

ред.

є напівнеперервною взверху в точці x = 0.

  • Індикатор   довільної відкритої множини   є напівнеперервною знизу функцією.
  • Індикатор   довільної замкнутої множини   є напівнеперервною зверху функцією.
  • Нехай   — система звичайних диференціальних рівнянь (y — вектор порядку n). Нехай функція F визначена на множині   і для кожної точки   існує єдиний максимальний розв'язок системи рівнянь  , визначений на проміжку   Числа   загалом залежать від початкових умов і можна визначити функції   Тоді функція   є напівнеперервною зверху на множині E, а функція   є напівнеперервною знизу на множині E[1].

Властивості

ред.
  • Функція є неперервною тоді й лише тоді коли вона є одночасно напівнеперервною зверху і знизу.
  • Якщо   є напівнеперервною зверху, то функція -f є напівнеперервною знизу і навпаки.
  • Нехай   є дві напівнеперервні знизу (зверху) функції. Тоді їх сума   також напівнеперервна знизу (зверху). Якщо напівнеперервні зверху функції є невідємними в точці то їх добуток теж буде напівнеперервним зверху.
  • Якщо   — напівнеперервні зверху функції дійсної змінної і g також неспадна, то функція   є також напівнеперервною зверху.
  • Межа монотонно зростаючої (спадної) послідовності напівнеперервних знизу (зверху) в точці   функцій є напівнеперервною знизу (зверху) функцією в  . Більш точно, нехай дано послідовність напівнеперервних знизу (зверху) функцій   таких, що   Тоді якщо існує межа   то   напівнеперервна знизу (зверху).
  • Якщо   і   є напівнеперервні функції відповідно знизу і зверху , і на всьому просторі виконано
 

то існує неперервна функція  , така що

 
  • Нехай дано компактну множину   Тоді напівнеперервна знизу (зверху) функція   досягає на   свого мінімуму (максимуму).
  • Теорема Віталі — Каратеодорі. Якщо   — невід'ємні міра на  , то для будь-якої  -вимірної функції   існують дві послідовності функцій   і  , що задовольняють умовам:
  1.   — напівнеперервні знизу,   — напівнеперервні зверху,
  2. кожна функція   є обмеженою знизу, кожна функція   — зверху,
  3. послідовність   незростаюча, послідовність   неспадна,
  4.  
  5.    -майже всюди.
  6. якщо для   функція   є інтегровною за Лебегом на   ( ), то також   і
 

Див. також

ред.

Одностороння границя

Примітки

ред.
  1. Hartman, Philip (2002), Ordinary Differential Equations, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-510-1, ст. 94-95.(англ.)

Література

ред.