Теорема Банаха про нерухому точку

Ця теорема була сформульована і доведена у 1922 році Стефаном Банахом. Вона є однією з найбільш класичних і фундаментальних теорем функціонального аналізу, а тому її результати використовуються при доведенні багатьох інших тверджень цієї дисципліни.

Формулювання теоремиРедагувати

Всяке стискуюче відображення повного метричного простору в себе має єдину нерухому точку (яку можна знайти методом послідовних наближень, починаючи з будь-якої точки цього простору).

ПоясненняРедагувати

Нехай (X,d) — повний метричний простір,  відображення метричного простору X в себе, тоді існує єдиний елемент x метричного простору X, що при відображенні A переходить в себе, тобто A(x)=x.

Для того, щоб знайти цей елемент, можна побудувати таку послідовність. Потрібно взяти довільний елемент  , потім покласти  , після цього взяти  , далі —  , і так далі. Отрималась послідовність  , яка прямує до шуканого елемента x (при  )

ДоведенняРедагувати

Нехай (X,d) — повний метричний простір,   — стискуюче відображення. Розглянемо послідовність наближень  , у якій  , а   — довільний елемент. Потрібно довести існування нерухомої точки і єдиність.

Існування. Покажемо, що ця послідовність є фундаментальною, тобто, що для будь-якого ε>0 для всіх m і n, більших деякого   виконуватиметься нерівність  . Дійсно, оскільки A - стискуюче відображення, тоді існує   (α - коефіцієнт стиснення) таке, що для всіх   виконуватиметься нерівність:  . Візьмемо ε>0, а також   таке, щоб   (очевидно, що це завжди можна зробити, бо   прямує до 0 при  ). Розглянемо  , не зменшуючи загальності, можна вважати, що m>n:        , що і означає фундаментальність послідовності  . Оскільки метричний простір X — повний, то послідовність   збіжна у ньому. Позначимо границю цієї послідовності через x. Тоді  , тобто A(x)=x. Існування доведено.

Єдиність. Припустимо, що існують відмінні один від одного   і   такі, що  , тоді з одного боку (оскільки x та   — нерухомі точки)  , з іншого, зважаючи на те, що A — стискуюче відображення,  . Отримана суперечність доводить єдиність.

Теорему доведено.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

ПосиланняРедагувати