Обернений оператор

Обернений оператор до оператора $A$ — оператор, який кожному $y$ із множини значень ${\mbox{Im}}\,A$ оператора $A$ ставить у відповідність єдиний елемент $x$ із області визначення ${\mathcal {D}}(A)$ оператора $A$, який є розв'язком рівняння $Ax=y$. Якщо оператор $A$ має обернений, тобто рівняння $Ax=y$ має єдиний розв'язок за будь-якого $y$ із ${\mbox{Im}}\,A$, то $A$ називають оборотним. Обернений оператор позначають $A^{-1}$.

Якщо a відображає X на Y, то A⁻¹ відображає Y на X

Визначення та умови існування

Інше визначення: оператор $B$ називають оберненим до оператора $A$, якщо $BA=I,\,AB=I$, де $I$ — одиничний оператор. Якщо виконується тільки співвідношення $BA=I$ або тільки $AB=I,$ то оператор $B$ називають лівим оберненим або правим оберненим відповідно. Якщо оператор $A$ має лівий обернений і правий обернений, то вони рівні між собою, а оператор $A$ є оборотним. Якщо обернений оператор існує, він визначається єдиним чином.

Оператор $A$ оборотний, якщо він відображає ${\mathcal {D}}(A)$ на ${\mbox{Im}}\,A$ взаємно однозначно, тобто за різних $x\in {\mathcal {D}}(A)$ набуває різних значень $y$. Якщо оператор $A$ — лінійний, то для існування оберненого оператора достатньо, щоб $Ax=0$ виконувалося тільки при $x=0$.

Лінійний оператор (навіть обмежений) може мати обернений, визначений не на всьому просторі. Наприклад, у просторі $\ell _{2}$ лінійний оператор

$A(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(0,x_{1},x_{2},\dots )$

має обернений, який визначено для векторів із першою координатою рівною нулю: $x_{1}=0$.

Властивості

• $(A^{-1})^{-1}=A.$
• $(A_{1}A_{2})^{-1}=A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}.$
• Оператор $A^{-1}$, обернений до лінійного оператора, також лінійний.
• $(A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}$, $A^{*}$ — спряжений оператор.

Теореми про обернений оператор

Теорема Банаха

Нехай $A$ — лінійний обмежений оператор, який взаємно однозначно відображає Банахів простір $E$ на Банахів простір $E_{1}$. Тоді обернений оператор $A^{-1}$ обмежений.

Теорема Банаха є одним з основних принципів лінійного аналізу. З неї випливає теорема про відкрите відображення: лінійне неперервне відображення $A$ Банахового простору $E$ на (всі) Банахові простори $E_{1}$ відкрите.

Достатня умова існування оберненого оператора

• Нехай лінійний оператор $A$, який відображає лінійний нормований простір $E$ на лінійний нормований простір $E_{1}$, задовольняє для будь-якого $x\in E$ умові

$\|Ax\|\geq m\|x\|,$

де $m>0$ — деяка константа. Тоді існує обернений обмежений лінійний оператор $A^{-1}$.

• Нехай $A$ — лінійний обмежений оборотний оператор, що діє з Банахового простору $E$ в Банахів простір $E_{1}$ і $\Delta A$ — лінійний обмежений оператор з $E$ в $E_{1}$ такий, що $\|\Delta A\|<1/\|A^{-1}\|$. Тоді оператор $B=A+\Delta A$ має обмежений обернений, причому

$\|B^{-1}-A^{-1}\|\leq {\frac {\|\Delta A\|}{1-\|A^{-1}\|\|\Delta A\|}}\|A^{-1}\|^{2}$.

• Нехай $E$ — Банахів простір, $I$ — тотожний оператор в $E$, а $A$ — такий лінійний обмежений оператор, який відображає $E$ в себе, що $\|A\|<1$. Тоді оператор $(I-A)^{-1}$ існує, обмежений і подається у вигляді ряду

$(I-A)^{-1}=\sum \limits _{k=1}^{\infty }A^{k}$.

Приклади

Перетворення Фур'є

$g(\lambda )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\lambda t}dt$

можна розглядати як лінійний обмежений оператор, що діє з простору $L_{2}(-\infty ,\infty )$ в себе. Оберненим оператором для нього є обернене перетворення Фур'є

$f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(\lambda )e^{i\lambda t}d\lambda$.

Оператори інтегрування та диференціювання

Для оператора інтегрування

$Ax=\int \limits _{0}^{t}x(\tau )\,d\tau ,$

який діє в просторі неперервних функцій $C[0,1]$, оберненим буде оператор диференціювання:

$A^{-1}y={\frac {d}{dt}}y(t),$

визначений на лінійному многовиді неперервно диференційовних функцій, таких що $y(0)=0$.

Оператор Штурма — Ліувілля

Для диференціального оператора Штурма — Ліувілля

$Ax={\frac {d}{dt}}\left\{p(t){\frac {dx}{dt}}\right\}+q(t)x,$

визначеного на лінійному многовиді двічі неперервно диференційовних функцій таких, що $x(0)=x(1)=0$, оберненим оператором є інтегральний оператор

$A^{-1}y=\int \limits _{0}^{1}G(t,\tau )y(\tau )\,d\tau ,$

де $G(t,\tau )$ — функція Гріна. $A^{-1}$ — лінійний обмежений оператор у $C[0,1]$.

Інтегральний оператор

Нехай

$Ax=\int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds$

— інтегральний оператор у просторі безперервних функцій $C[0,1]$. За достатньо малих значень параметра $\lambda$ оператор $(I-\lambda A)$ (де $I$ — одиничний оператор) має обмежений обернений

$(I-\lambda A)^{-1}y=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}R(t,s,\lambda )y(s)\,ds$,

де $R(t,s,\lambda )$ — резольвента ядра $K(t,s)$. Знаючи резольвенту, можна знайти розв'язок інтегрального рівняння

$x(t)=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds$

за будь-якого вільного члена $y(t)$.

Обернений оператор у скінченновимірному просторі

Оператор у скінченновимірному просторі оборотний тоді й лише тоді, коли його ранг збігається з розмірністю простору. Інакше кажучи, визначник його матриці відмінний від нуля. Оберненому оператору відповідає обернена матриця.

Див. також

• Лінійне відображення
• Обернена функція
• Ізоморфізм
• Банахів простір
• Лінійний неперервний оператор

Література

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Люстерник Л. А., Соболев В. И.. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб. — М. : Наука, 1965. — 520 с.
• Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б.. Лекции по функциональному анализу. — М. : Мир, 1979. — 592 с.
• Соболев В. И. Обратное отображение // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3. — 592 с. — 150 000 экз.