Ядро інтегрального оператора

Ядро́м інтегра́льного опера́тора (ядро Фредгольма) — функція двох аргументів $K(x,\;y)$, яка визначає деякий інтегральний оператор ${\mathcal {A}}$ рівністю

$\varphi (y)={\mathcal {A}}[\varphi (x)]=\int K(x,\;y)\varphi (x)\,d\mu (x),$

де $x\in \mathbb {X}$ — простір з мірою $d\mu (x)$, а $\varphi (x)$ належить деякому простору функцій, визначених на $\mathbb {X}$ .

Приклади

• Ядро $K(x,\;y)$ називають $L_{2}$-ядром, якщо воно задовольняє умові:

$\int \limits _{D}\int \limits _{D}|K(x,\;y)|^{2}\,dx\,dy<+\infty ,$

де $K(x,\;y)$ — вимірна на $D$ функція.

Такі ядра є основним предметом розгляду теорії інтегральних рівнянь.

• Ядро, що задовольняє умові:

$K(x,\;y)\equiv 0$ при $y>x$

називають ядром Вольтерри.

• Симетричне ядро — ядро, для якого виконується тотожність $K(x,\;y)=K(y,\;x)$.
• Якщо виконується тотожність $K(x,\;y)={\overline {K(y,\;x)}}$, де ${\overline {K(y,\;x)}}$ — комплексно спряжене до $K(x,\;y)$, таке ядро називають ермітовим.
• Якщо ядро $K(x,\;y)$ допускає розклад вигляду:

$K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{n}X_{k}(x)Y_{k}(y),$

де $\{X_{i}(x)\},\;\{Y_{i}(y)\}$$(i=1,\;2,\;\ldots ,\;n)$ — дві системи лінійно незалежних інтегрованих з квадратом функцій ($L_{2}$-функцій), таке ядро називають ядром Пінкерле — Ґурса або PG-ядром.

Пов'язані визначення

• Спектром ядра називають множину його власних значень.

Теорема Мерсера

Теорема Мерсера про розкладання ядра стверджує:

Якщо симметричне $L_{2}$-ядро $K(x,\;y)$ неперервне і має лише додатні власні значення (або принаймні скінченне число від'ємних власних значень) $\lambda _{k}$, то справедливе подання: $K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\varphi _{k}(x)\varphi _{k}(y)}{\lambda _{k}}},$ де $\{\varphi _{k}(x)\}$ — ортогональна система $L_{2}$-функций. При цьому ряд збігається абсолютно і рівномірно.

Див. також

• Характеристичне число (інтегральні рівняння)

Джерела

• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Ахієзер Н.І., Глазман І.М. Теорія лінійних операторів у гільбертовому просторі. — 2025. — 663 с.(укр.)
• Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осциляційні матриці та ядра та малі коливання механічних систем. — 2025. — 400 с.(укр.)