Резольвента інтегрального рівняння

Розглянемо інтегральне рівняння:

$f(s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}K(s,\;t)\varphi (t)\,dt=\varphi (s).\qquad (*)$

Резольвентою інтегрального рівняння, або його розв'язним ядром називають таку функцію $\Gamma (s,\;t,\;\lambda )$ змінних $s$, $t$ і параметра $\lambda$, що розв'язок рівняння (*) подається у вигляді:

$u^{*}(s)=f(s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}\Gamma (s,\;t,\;\lambda )f(t)\,dt.$

При цьому $\lambda$ не повинна бути власним числом рівняння (*).

Приклад

Нехай рівняння (*) має ядро $K(s,\;t)=s+t$, тобто саме рівняння має вигляд:

$\varphi (s)+\lambda \int \limits _{a}^{b}(s+t)\varphi (t)\,dt=f(s).$

Тоді його резольвентою є функція

$\Gamma (s,\;t,\;\lambda )={\frac {s+t-\lambda \left({\dfrac {s+t}{2}}-st-{\dfrac {1}{3}}\right)}{1-\lambda -{\dfrac {\lambda ^{2}}{12}}}}.$

Резольвента лінійного оператора

Нехай $A$ — лінійний оператор. Тоді його резольвентою називають операторнозначну функцію

$R(z)=(A-zE)^{-1}$,

де $E$ — тотожний оператор, а $z$ — комплексне число, з резольвентної множини, тобто такої множини, що $R(z)$ є обмеженим оператором.

Це поняття використовується для розв'язування неоднорідного рівняння Фредгольма другого роду.

Див. також

• Спектр оператора
• Резольвента алгебричного рівняння