Інтегральне рівняннярівняння, яке містить невідому функцію під знаком інтеграла, наприклад,

або

.

Тут і — задані функції, а — шукана. Функцію називають ядром інтегрального рівняння, а вільним членом; — параметр (з або ). Між інтегральними рівняннями та диференційними рівняннями існує тісний зв'язок, деякі задачі можуть бути сформульовані обидвома способами. Наприклад, рівняння Максвела

Основні види інтегральних рівняньРедагувати

Лінійні рівнянняРедагувати

Найпростішим типом рівнянь є рівняння Фредгольма першого роду:

 

де φ є невідомою функцією, f є деякою даною функцією, K є відомою функцією двох змінних, що називається ядром рівняння.

Якщо невідома функція знаходиться як під знаком інтеграла так і за його межами, то таке рівняння називається рівняням Фредгольма другого роду:

 

Де параметр λ є невідомим і відіграє ту ж роль, що власне значення у лінійній алгебрі.

Якщо межі інтегрування самі є змінними то таке інтегральне рівняння називається рівнянням Вольтерра. Відповідно рівняння Вольтерра першого і другого роду мають вигляд:

 
 

В усіх поданих вище рівняннях якщо функція f всюди рівна нулю то рівняння називається однорідним. В іншому випадку  — неоднорідним.

Нелінійні рівнянняРедагувати

Рівняння УрисонаРедагувати

 

Стала    — деяке додатне число, яке не завжди наперед можна визначити.

Рівняння ГаммерштейнаРедагувати

Рівняння Гаммерштейна є частковим випадком рівнянь Урисона:

 

де   — ядро Фредгольма.

Рівняння Ляпунова — ЛіхтенштейнаРедагувати

Рівняння Ляпунова — Ліхтенштейна  — рівняння з суттєво нелінійними операторами, наприклад:

 

Нелінійне Рівняння ВольтерраРедагувати

 

де функція   неперервна за всіма своїми змінними.

ЛітератураРедагувати

  • М. Л. Краснов. Интегральные уравнения: введение в теорию. — М.: Наука, 1975.
  • В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
  • Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.

ПосиланняРедагувати