Відкрити головне меню

Фу́нкція Грі́на — розв'язок неоднорідного рівняння або системи рівнянь математичної фізики з точковим джерелом.

Конкретне означення функції Гріна відповідає конкретній задачі математичної фізики. Функція Гріна містить повну інформацію про досліджуване рівняння, і за її допомогою можна побудувати розв'язок при будь-якій неодрорідності. Завдяки своїй інформативності функції Гріна широко використовуються в математичній фізиці, електродинаміці, квантовій механіці, квантовій теорії поля, статистичній фізиці тощо. Позначається здебільшого .

Функція Гріна названа на честь англійського математика Джорджа Гріна, який першим розвинув відповідну теорію в 1830-х роках.

Зміст

Просторова функція ГрінаРедагувати

При розв'язуванні задачі

 ,

де   — лінійний оператор, що заданий у просторі диференційовних функцій, f — невідома функція координат, а g — певна відома функція, зручно спиратися на функцію Гріна, яка визначається, як розв'язок задачі

 ,

де   — будь-яка точка простору, а   — дельта-функція Дірака.

Якщо функція Гріна відома, то розв'язок початкової задачі задається згорткою

 

ПрикладиРедагувати

Для оператора Лапласа рівняння для функції Гріна записується

 

Множник   тут введено для спрощення кінцевих формул.

Розв'язок цього рівняння

 

Рівняння Пуасона для знаходження електростатичного потенціалу системи зарядів, розподілених в просторі із густиною   записується

 ,

де   — діелектрична проникність середовища.

Використовуючи функцію Гріна, розв'язок рівняння Пуасона записується

 


Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Функції Гріна у квантовій статистиці твердих тіл : посібник / І. В. Стасюк ; М-во освіти і науки України, Львів. нац. ун-т ім. І. Франка. – Львів : Вид-во ЛНУ, 2013. – 392 с. : іл. – Бібліогр. в кінці розділів. – ISBN 978-617-10-0048-3

Функции Грина в теории магнетизма: монография / В. Г. Барьяхтар, В. Н. Криворучко, Д. А. Яблонский. Киев. Наукова Думка, 1984. - 336 с.

Метод функцій Гріна в теорії Металів: монографія / В. Т. Швець. Одеса: Латстар, 2002. - 400 с.