Гомологічна алгебра

Гомологічна алгебра — розділ алгебри, що вивчає алгебраїчні об'єкти, запозичені з алгебраїчної топології. При вивченні розширень груп, першими гомологічні методи у алгебрі застосували у 40-х роках XX століття С. Ейленберг[en] і С. Маклейн[en].

Гомологічна алгебра відіграє важливу роль в алгебричній топології, застосовується в багатьох розділах алгебри, таких як теорія груп, теорія алгебр, алгебрична геометрія, теорія Галуа.

Ланцюговий комплексРедагувати

Ланцюговий комплекс це градуйований модуль   з диференціалом  ,   (що не виконується для півсфери, яка є проекцією 4-вимірного об'єкта), що знижує градуювання для ланцюгового комплексу,  , або підвищує градуювання для коланцюгового комплексу,  .

Одним з основних понять гомологічної алгебри є ланцюговий комплекс. Ланцюгові комплекси присутні у різних розділах математики, в алгебричній топології, комутативній алгебрі, алгебричній геометрії, вивчення загальних властивостей комплексів є однією з основних завдань гомологічної алгебри.

РезольвентаРедагувати

Детальніші відомості з цієї теми Ви можете знайти в статті Резольвента (гомологічна алгебра).

Проективною резольвентою модуля  , називається лівий комплекс  , у якому всі   є проективними і гомології якого дорівнюють нулю, окрім нульових.

Проективні резольвенти використовуються для обчислення функторів   и  . Резольвенти виникли в алгебраїчній топології для обчислення гомологій топологічного добутку за гомологіями множників за формулою Кюнетта.

ЛітератураРедагувати

  • А. Картан, С. Эйленберг, «Гомологическая алгебра», 1960 год.
  • С. Маклейн, «Гомология», 1966 год.
  • Р. Годеман «Алгебраическая топология и теория пучков», 1961 год.
  • Бурбаки, «Гомологическая алгебра», 1987 год.