Підоб'єкт

об'єкт, що міститься в іншому об'єкті категорії

У теорії категорій підоб'єкт — це, загалом, об'єкт, що міститься в іншому об'єкті категорії. Визначення узагальнює старіші поняття підмножини в теорії множин і підгрупи в теорії груп[1]. Оскільки «справжня» будова об'єктів у теорії категорій не розглядається, визначення спирається на використання морфізмів, а не «елементів».

Визначення

ред.

Нехай A — об'єкт деякої категорії. Маючи два мономорфізми:

u : SA та
v : TA

зі спільним образом A будемо казати що uv якщо u «пропускається через» v, тобто якщо існує морфізм w : ST, такий що u = vw. Визначимо таке бінарне відношення:

uv тоді й лише тоді, коли uv і vu.

Це відношення еквівалентності на мономорфізмах з образом A, назвемо його класи еквівалентності підоб'єктами A. Мономорфізми з образом A і відношенням ≤ утворюють передпорядок, але визначення підоб'єкта гарантує, що підоб'єкти A утворюють частково впорядковану множину.

Двоїсте поняття до підоб'єкта — фактор-об'єкт; тобто, щоб отримати визначення фактор-об'єкта, потрібно замінити у визначенні вище «мономорфізм» на «епіморфізм» і поміняти напрямки всіх стрілок.

Приклади

ред.

У категорії множин підоб'єкти A відповідають підмножинам A, або, точніше, класу всіх вкладень множин, рівносильних даній, у дану підмножина. Те ж саме істинне в категорії груп і в деяких інших категоріях.

Див. також

ред.

Примітки

ред.
  1. Mac Lane, p. 126

Література

ред.