Еквівалентність категорій

відношення між категоріями, яке показує, що дві категорії «по суті однакові»

Еквівалентність категорій у теорії категорій — відношення між категоріями, яке показує, що дві категорії «по суті однакові». Встановлення еквівалентності свідчить про глибокий зв'язок відповідних математичних концепцій та дозволяє «переносити» теореми з одних структур на інші.

Визначення

ред.

Для двох категорійC і D задана їх еквівалентність, якщо задано функтор F : CD, функтор G : DC, і два природних ізоморфізми ε: FGID та η : ICGF. Тут IC: CC та ID: DD — тотожні функтори C і D відповідно. Якщо F та G — контраваріантні функтори, це визначає двоїстість категорій.

Еквівалентні формулювання

ред.

Можна показати, що функтор F : CD визначає еквівалентність категорій тоді й лише тоді, коли він:

  • цілком унівалентний і
  • щільний, тобто в класі ізоморфізму будь-якого елемента d категорії D існує об'єкт, що має прообраз у C під дією F.

Це найчастіше застосовуваний критерій, оскільки він не вимагає явно сконструювати «обернений» функтор і два природних перетворення. З іншого боку, хоча наведена вище властивість гарантує існування еквівалентності, частина даних втрачається, оскільки іноді еквівалентність можна провести різними способами. Тому функтор F із такими властивостями іноді називають слабкою еквівалентністю категорій.

Ще одне формулювання використовує поняття спряжених функторів: F та G задають еквівалентність категорій тоді й лише тоді, коли вони обидва цілком унівалентні і є спряженими.

Приклади

ред.
  • Між категорією   з одного об'єкта   та одного морфізму   та категорією   із двох об'єктів  ,   і чотирьох морфізмів: двох тотожних   і  , та двох ізоморфізмів   і  , можна встановити еквівалентність, наприклад взяти  , що відображає   в  , і  , що відображає обидва об'єкти   в  . Однак, наприклад, категорія   не еквівалентна категорії з двох об'єктів та двох тотожних морфізмів.
  • Нехай категорія   складається з одного об'єкта   і двох морфізмів  , де  . Тоді   задає природний ізоморфізм   із собою (нетривіальний, тому що він діє на морфізмах не тотожно).
  • Еквівалентна категорія   скінченновимірних дійсних векторних просторів та категорія   (об'єкти — натуральні числа, морфізми — матриці відповідної розмірності): функтор   зіставляє векторному простору його розмірність (що відповідає вибору в кожному просторі базису).
  • Одна з центральних тем алгебричної геометрії — двоїстість категорій афінних схем і комутативних кілець. Відповідний функтор відображає кільце в його спектр — схему, утворену простими ідеалами.

Властивості

ред.

За еквівалентності категорій зберігаються всі «категорійні» властивості: наприклад, властивість бути початковим об'єктом, мономорфізмом, границею або властивість категорії бути топосом.

Двоїстість «перевертає всі поняття»: вони перетворюють початкові об'єкти на термінальні об'єкти, мономорфізми на епіморфізми, ядра на коядра, границі на кограниці тощо.

Якщо F : CD — еквівалентність категорій, а G1 і G2 — дві інверсії F, то G1 і G2 природно ізоморфні.

Якщо F : CD — еквівалентність категорій, і якщо C — преадитивна категорія[en] (або адитивна категорія[en], або абелева категорія), то D можна перетворити на преадитивну категорію (або адитивну категорію, або абелеву категорію) так, що F стає адитивним функтором[en]. З іншого боку, будь-яка еквівалентність між адитивними категоріями обов'язково є адитивною. (Зверніть увагу, що останнє твердження хибне для еквівалентності між преадитивними категоріями.)

Автоеквівалентність категорії C є еквівалентністю F : CC. Автоеквівалентності C утворюють групу за композицією, якщо ми вважаємо дві автоеквівалентності, які природно ізоморфні, ідентичними. Ця група фіксує основні «симетрії» C. (Застереження: якщо C не є малою категорією, то автоеквівалентності C можуть утворювати належний клас, а не множину.)

Література

ред.
  • [ Еквівалентність категорій] — стаття з МЭ
  • Маклейн С. Глава 4. Сопряжённые функторы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 95—128. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.