Елементарний топос

поняття в теорії категорій

Елементарний топос — категорія, в певному сенсі схожа на категорію множин, основний предмет вивчення теорії топосів. Засобами елементарних топосів можна описати аксіоматику як самої теорії множин, так і альтернативних теорій та логік, наприклад, інтуїціоністську логіку.

Визначення

ред.

Елементарний топос — це декартово замкнута повна категорія, в якій існує виділений об'єкт  , званий класифікатором підоб'єктів, і мономорфізм у нього з термінального об'єкта  , званий істиною (також позначається  ), такий що для будь-якого мономорфізму   існує єдиний морфізм  , для якого діаграма

 

є декартовим квадратом.

Інакше кажучи, елементарний топос — це категорія, що має термінальний об'єкт і розшаровані добутки, а також експоненціал   будь-яких двох об'єктів   і   та класифікатор підоб'єктів  .

Властивості

ред.

Приклади

ред.
  • Основним прикладом топосу, властивості якого лягли в основу загального визначення, є топос множин. У ньому експоненціал множин   і   — це множина   відображень із   в  . Класифікатор підоб'єктів — це множина  , при цьому   — природне вкладення   в  , а   — характеристична функція підмножини   множини  , рівна 1 на елементах   та 0 на елементах  . Подіб'єкти   — це її підмножини.
  • Категорія скінченних множин також є топосом. Це типовий приклад елементарного топосу, що не є топосом Гротендіка.
  • Для будь-якої категорії   категорія функторів   є топосом Гротендіка. Границі та кограниці функторів обчислюють поточково. Для функторів   функтор морфізмів   дають формулою
 
З леми Йонеди випливає, що класифікатор підоб'єктів   на об'єкті   дорівнює множині підфункторів подаваного функтора  .
  • Категорія пучків множин на будь-якому топологічному просторі є топосом Гротендіка. Якщо зіставити простору   його категорію відкритих підмножин, упорядкованих за вкладенням,  , то структура топосу на категорії пучків описується точно так, як і в топосі  . Єдина відмінність:   є множиною всіх підпучків подаваного пучка  .
  • Загальніше, для будь-якої категорії   із заданою топологією Гротендіка   категорія  -пучків множин є топосом Гротендіка. Більш того, будь-який топос Гротендіка має такий вигляд.
  • Взагалі, не будь-який топос Гротендіка є категорією пучків на деякому топологічному просторі. Наприклад, топос пучків на топологічному просторі має точки, відповідні точкам цього простору, тоді як загальний топос може мати жодної точки. Аналогію між топосами і просторами можна зробити точною, якщо як простори розглядати локалі, при цьому категорія топосів виявляється еквівалентною категорії локалей. Неформально, локаль — це те, що залишається від поняття топологічного простору, якщо забути про точки і розглядати лише ґратку його відкритих підмножин. Для топологічних просторів немає різниці між поглядом них як на простори і як на локалі. Проте, локаль має відповідати деякому топологічному простору. Зокрема, вона повинна мати точки.

Література

ред.
  • Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М. : Мир, 1983. — 488 с.
  • П. Т. Джонстон. Теория топосов / Под ред. Ю.И. Манина. — М. : Наука, 1986. — 440 с.
  • F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra 3. Categories of Sheaves. — Cambridge : Cambridge University Press, 1994. — 522 p. — ISBN 0 521 44180 3.
  • P. T. Johnstone. Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium. — Oxford : Clarendon Press, 2002. — Т. 1. — ISBN 0 19 852496 X.