Категорія метричних просторів

категорія, об'єктами якої є метричні простори, а морфізмами — короткі відображення

Категорія метричних просторів або Met — категорія, об'єктами якої є метричні простори, а морфізмами — короткі відображення. (Оскільки композиція з двох коротких відображень є коротким відображенням, ці об'єкти та морфізми дійсно утворюють категорію.)

Початок вивчення цієї категорії поклав Джон Ізбел[en].

СтрілкиРедагувати

Мономорфізми Met є ін'єктивними короткими відображеннями. Епіморфізми — короткі відображення зі скрізь щільним образом. Ізоморфізми — ізометрії.

Наприклад, включення раціональних чисел у дійсні числа є мономорфізмом та епіморфізмом, але не ізоморфізмом.

Початковим об'єктом Met є порожній метричний простір; будь-який одноточковий метричний простір є термінальним об'єктом. Оскільки початковий об'єкт і термінальні об'єкти різняться, Met не має нульових об'єктів.

Ін'єктивні об'єкти в Met називають ін'єктивними метричними просторами. Ін'єктивні метричні простори вперше ввели та вивчили Аронзайн[en] і Панічпакді (Aronszajn та Panitchpakdi, (1956)), до вивчення Met як категорії; їх також можна визначити внутрішньо в термінах властивості Хеллі їхніх метричних куль, тому Аронзайн і Панічпакді назвали їх гіперопуклими просторами. Будь-який метричний простір має найменший ін'єктивний метричний простір, в який його можна вкласти ізометрично, званий його ін'єктивною оболонкою.

ДобуткиРедагувати

Добуток скінченної множини метричних просторів у Met це метричний постір, точками якого є декартові добутки просторів; відстань у просторі добутків визначається як супремум відстаней у координатних просторах.

Добуток нескінченної множини метричних просторів може не існувати, оскільки відстані в базових просторах можуть не мати супремуму. Тобто Мет не є повною категорією, але вона скінченно замкнута. У Met немає кодобутку.

Варіації та узагальненняРедагувати

Met — не єдина категорія, чиї об'єкти є метричними просторами; такими ж є категорії рівномірно неперервних функцій, ліпшицевих функцій та квазиліпшицевих відображень. Короткі відображення є як рівномірно безперервними, так і ліпшицевими, зі сталою Липшица не більше 1.

Також виявляється зручно розширити категорію метричних просторів, дозволивши, наприклад, відстаням набувати значення   або перехід до преметричних просторів, тобто відмовившись від нерівності трикутника та симетрії для метрики.

ПосиланняРедагувати