Ліпшицеве відображення

Ліпшицеве відображеннявідображення між двома метричними просторами, застосування якого збільшує відстані не більше, ніж в деяку константу раз.

ВизначенняРедагувати

 
Для будь-якої ліпшицевої функції, існує подвійний конус (показаний білим) чия вершина може пересуватись уздовж графіка, так що сам графік залишається повністю поза конусом.

Відображення   метричного простору   у метричний простір   називається ліпшицевим, якщо знайдеться деяка константа   (константа Ліпшиця цього відображення), така, що

 

при будь-яких  . Цю умову називають умовою Ліпшиця.

Пов'язані визначенняРедагувати

  • Відображення, що задовольняє вищенаведеній умові, називається також  -ліпшицевим.
  • Нижня грань чисел  , що задовольняють вищенаведену нерівність, називається константою Ліпшиця відображення  .
  • Відображення називається локально ліпшицевим, якщо для довільної точки області визначення існує окіл в якому відображення є ліпшицевим.
  • Відображення   називається біліпшицевим, якщо у нього існує обернене   і обидва   і   є ліпшицевими.
  • Відображення   називається коліпшицевим, якщо існує константа  , така, що для будь-яких   і   знайдеться   таке, що
     

ВластивостіРедагувати

Варіації і узагальненняРедагувати

  • f(t,x) є Lipx(Ω), якщо для будь-яких x1, х2, х1≠х2 ||f(t,x1)-f(t,х2)|| ≤ η||(x1- х2)|| існує η(t):R+→R+, η(t)→0 R+:[t0,∞], η(t) є C[t0,∞],

||f(t,x1)-f(t,х2)||< η(t)||x1- х2|| при n=1  ||…||→|…|   η(t)≤ L    для будь-яких t ≥ t0

L=const Lipshits.

  • Поняття ліпшицевої функції природним чином узагальнюється на функції з обмеженим модулем неперервності, оскільки умова Ліпшиця записується так:
 

ПосиланняРедагувати