Десятковий логарифм

Десятковий логарифм — логарифм з основою 10. Іншими словами, десятковий логарифм числа $b$ є розв'язком рівняння $~10^{x}=b.$

Десятковий логарифм
Формула	$\lg x=\log _{10}x$
Позначення у формулі	$\lg x$ і $\log _{a}x$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

Десятковий логарифм числа $b$ існує, якщо $~b>0.$ Прийнято (специфікація ISO 31-11) позначати його $~\lg \,b$. Приклади:

$\lg \,1=0;\,\lg \,10=1;\,\lg \,100=2$

$\lg \,1000000=6;\,\lg \,0{,}1=-1;\,\lg \,0{,}001=-3$

У зарубіжній літературі, а також на клавіатурі калькуляторів зустрічаються й інші позначення десяткового логарифма:$~\operatorname {log} ,\operatorname {Log} ,\operatorname {Log10}$, причому слід мати на увазі, що перші 2 варіанти можуть відноситися і до натурального логарифма.

Алгебраїчні властивості

У нижченаведеній таблиці передбачається, що всі значення позитивні :

	Формула	Приклад
Добуток	$\lg(xy)=\lg(x)+\lg(y)\,$	$\lg(10000)=\lg(100\cdot 100)=\lg(100)+\lg(100)=2+2=4\,$
Частка від ділення	$\lg \!\left({\frac {x}{y}}\right)=\lg(x)-\lg(y)\,$	$\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3$
Степінь	$\lg(x^{p})=p\lg(x)\,$	$\lg(10000000)=\lg(10^{7})=7\lg(10)=7\,$
Корінь	$\lg {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\lg(x)}{p}}\,$	$\lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5$

Існує очевидне узагальнення наведених формул на випадок, коли допускаються негативні змінні, наприклад:

$\lg |xy|=\lg(|x|)+\lg(|y|),$

$\lg \!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\lg(|x|)-\lg(|y|),$

Формула для логарифма добутку легко узагальнюється на довільну кількість співмножників:

$\lg(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\lg(x_{1})+\lg(x_{2})+\dots +\lg(x_{n})$

Вищеописані властивості пояснюють, чому застосування логарифмів (до винаходу калькуляторів) істотно полегшувало обчислення. Наприклад, множення багатозначних чисел $x,y$ за допомогою логарифмічних таблиць ^[⇨] вироблялося за наступним алгоритмом:

1. Знайти в таблицях логарифми чисел $x,y$.
2. Скласти ці логарифми, отримуючи (відповідно до першої властивості) логарифм добутку $x\cdot y$.
3. За логарифмом добутку знайти в таблицях сам добуток.

Ділення, яке без допомоги логарифмів набагато трудомісткіше, ніж множення, виконувалося за тим же алгоритмом, лише із заміною складання логарифмів — відніманням. Аналогічно здійснювалися піднесення до степеня і знаходження кореня.

Зв'язок десяткового і натурального логарифмів :

$\ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x$

Знак логарифма залежить від логарифмуємого числа: якщо воно більше 1, логарифм позитивний, якщо воно між 0 і 1, то від'ємний. Приклад:

$\lg \,0{,}012=\lg \,(10^{-2}\times 1{,}2)=-2+\lg \,1{,}2\approx -2+0{,}079181=-1{,}920819$

Щоб уніфікувати дії з позитивними і негативними логарифмами, в останніх ціла частина (характеристика) надкреслюється зверху:

$\lg \,0{,}012\approx -2+0{,}079181={\bar {2}}{,}079181$

Мантиса логарифма, обрана з таблиць, при такому підході завжди позитивна.

Функція десяткового логарифма

Якщо розглядати логарифмуєме число як змінну, ми отримаємо функцію десяткового логарифма: $~y=\lg \,x.$. Вона визначена при всіх $~x>0.$ Область значень: $E(y)=(-\infty ;+\infty )$. Графік цієї кривої часто називається логарифмікою.

Функція монотонно зростає, неперервна і диференційована усюди, де вона визначена. Похідна для неї знаходиться за формулою:

${\frac {d}{dx}}\lg \,x={\frac {\lg \,e}{x}}$

Вісь ординат $(x=0)$ є лівою вертикальною асимптотою, оскільки:

$\lim _{x\to 0+0}\lg \,x=-\infty$

Застосування

Логарифми за основою 10 до винаходу в 1970-і роки компактних електронних калькуляторів широко застосовувалися для обчислень. Як і будь-які інші логарифми, вони дозволяли багаторазово спростити і полегшити трудомісткі розрахунки, замінюючи множення на додавання, а ділення на віднімання; аналогічно спрощувались піднесення до степеня і знаходження кореня. Але десяткові логарифми мали перевагу перед логарифмами за іншою основою: цілу частину $L$ логарифма числа $x$ (характеристику логарифма) легко визначити.

• Якщо $x>1,$ то $L$ на 1 менше числа цифр в цілій частині числа $x$. Наприклад, відразу очевидно, що lg 345 знаходиться в проміжку (2, 3).
• Якщо $x<1,$ то найближче до $L$ ціле (в меншу сторону) дорівнює загальній кількості нулів в $x$ перед першою ненульовий цифрою, взятому зі знаком мінус. Наприклад, lg 0,0014 знаходиться в інтервалі (-3, -2).

Крім того, при перенесенні десяткової коми в числі на $n$ розрядів значення десяткового логарифма цього числа змінюється на $n.$ Наприклад:

$\lg 8314{,}63=\lg 8{,}31463+3$

Звідси випливає, що досить скласти таблицю мантис (дробових частин) десяткових логарифмів для чисел в діапазоні від 1 до 10. Такі таблиці, починаючи з XVII століття, випускалися великим тиражем і служили незамінним розрахунковим інструментом вчених та інженерів.

Оскільки застосування логарифмів для розрахунків з появою обчислювальної техніки майже припинилося, в наші дні десятковий логарифм в значній мірі витіснений натуральним . Він зберігається в основному в тих математичних моделях, де історично вкоренився — наприклад, при побудові логарифмічних шкал.

Десяткові логарифми для чисел виду 5 × 10ⁿ

Число	логарифм	характеристика	мантиса	запис
n	lg(n)	C = floor(lg(n))	M = (lg(n) − характеристика)
5 000 000	6.698 970…	6	0.698 970…	6.698 970…
50	1.698 970…	1	0.698 970…	1.698 970…
5	0.698 970…	0	0.698 970…	0.698 970…
0.5	−0.301 029…	−1	0.698 970…	1.698 970…
0.000 005	−5.301 029…	−6	0.698 970…	6.698 970…

Зверніть увагу, що у всіх наведених у таблиці чисел одна і та ж мантиса.

Десяткова логарифмічна шкала на логарифмічній лінійці

Історія

Перші таблиці десяткових логарифмів опублікував в 1617 році оксфордський професор математики Генрі Бріґґз для чисел від 1 до 1000, з вісьмома (пізніше — з чотирнадцятьма) знаками. Тому за кордоном десяткові логарифми часто називають брігсовимі. Але в цих і в наступних виданнях таблиць виявилися помилки. Перше безпомилкове видання на основі таблиць Георга Веги (1783) з'явилося тільки в 1857 в Берліні (таблиці Бремікера, Carl Bremiker) .

У Росії перші таблиці логарифмів були видані в 1703 році за участю Л. П. Магницького. У СРСР випускалися кілька збірок таблиць логарифмів:

1. Брадис В. М. Чотиризначні математичні таблиці. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблиці Брадіса, що видаються з 1921 року, використовувалися в навчальних закладах та в інженерних розрахунках, що не вимагають великої точності. Вони містили мантиси десяткових логарифмів чисел і тригонометричних функцій, натуральні логарифми і деякі інші корисні розрахункові інструменти.
2. Вега Г. Таблиці семизначних логарифмів, 4-е видання, М.: Надра, 1971. Професійний збірник для точних обчислень.

Джерела

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.