Репер (математика)

Репе́р (фр. repère — «знак», «початкова точка») — сукупність точки (початку координат) і впорядкованого набору з n лінійно незалежних векторів (тобто базису) в n-мірному афінному просторі.

Іноді термін «репер» використовується також як синонім терміна «базис» (тобто початок координат опускається).

У диференціальній геометрії репером називають сукупність точки многовиду, та базису дотичного простору у цій точці.

Многовиди реперів

Нехай $\mathbb {E} ^{N}$ є $N-$вимірний евклідів простір (афінний простір без виділеного початку координат, наділений інваріантним відносно зсувів скалярним добутком). Під репером $(x;e_{1},...,e_{N})$ розуміється радіус-вектор $x\in \mathbb {E} ^{N}$ та ортонормований базис $e_{1},...,e_{N}\in T_{x}(\mathbb {E} ^{N}).$ Множина усіх реперів утворює многовид ${\mathfrak {F}}(\mathbb {E} ^{N}),$ який після вибору базисного репера (тобто ізоморфізму $\mathbb {E} ^{N}\cong \mathbb {R} ^{N}$) можна ототожнити із групою $E(N)$ евклідових рухів: радіус-вектор $x$ задає зсув, а обертання таке, що воно переводить координатний репер в $\mathbb {R} ^{N}$у репер $e_{1},...,e_{N}.$

Якщо зафіксований який-небудь початок координат $0\in \mathbb {E} ^{N},$ то множина усіх реперів у $T_{0}(\mathbb {E} ^{N})$ буде позначатися через ${\mathfrak {F}}_{0}(\mathbb {E} ^{N}).$ Зрозуміло, що вибір базисного репера дозволяє ототожнити множину ${\mathfrak {F}}_{0}(\mathbb {E} ^{N})$ із ортогональною групою $O(N).$

Пов'язані визначення

• Множина всіх реперів на многовиді має природну гладку структуру і розшаровується над вихідним многовидом. Це розшарування називається розшаруванням реперів, а його перерізи називаються поле реперів. Нерідко термін «репер» означає саме поле реперів.
• Розшарування реперів на многовиді $M$ зазвичай позначається $FM$.

• Поле реперів ${\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ карті $x^{i}$ називається голономним або координатним полем реперів.

Варіації та узагальнення

• $k$-репер у многовиді — сукупність точки многовиду і $k$ лінійно незалежних векторів дотичного простору в цій точці.
• репер — сукупність точки (початку координат) і впорядкованого набору з $n$ лінійно незалежних векторів (тобто базису) в $n$-мірному афінному просторі.
• Іноді термін «репер» використовується також як синонім терміна «базис» (то згадка про початок координат опускається).

Історія

Перше систематичне дослідження диференціальної геометрії з використанням полів реперів, відмінних від координатних, зокрема, з використанням ортогональних реперів, належить Картану, отримало таким способом багато фундаментальних результатів, які зробили серйозний вплив на геометрію і теоретичну фізику.

Література

• Картан Э. Ж. Риманова геометрия в ортогональном репере. -М.: изд-во МГУ, [1926-1927]1960
• Картан Э. Ж. Метод подвижного репера, теория непрерывных групп и обобщенные пространства. -M.-Л.: Гос.изд-во технико-теоретич. лит-ры, [1930]1933
• Картан Э. Ж. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия изложенная методом подвижного репера. -М.: изд-во МГУ, [1930]1963
• Ф.Гриффитс. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление.