Лінійний неперервний оператор
Лінійний неперервний оператор , що діє з лінійного топологічного простору X у лінійний топологічний простір Y — це лінійне відображення із X в Y, що має властивість неперервності.
Термін «лінійний неперервний оператор» зазвичай вживають у разі, коли Y багатовимірний. Якщо Y одновимірний, тобто збігається із самим полем ( або ), то прийнято вживати термін лінійний неперервний функціонал[1]. Множину всіх лінійних неперервних операторів із X в Y позначають .
В теорії нормованих просторів лінійні неперервні оператори більш відомі як обмежені лінійні з причин, викладених нижче. Теорія лінійних неперервних операторів відіграє важливу роль у функціональному аналізі, математичній фізиці та обчислювальній математиці.
Властивості
ред.- Якщо X скінченновимірний, то будь-який лінійний оператор неперервний.
- Неперервність лінійного оператора в нулі рівносильна його неперервності в будь-якій іншій точці (і, отже, у всьому X).
- Для нормованих просторів умови неперервності й обмеженості (тобто скінченності операторної норми) рівносильні.[2]. В загальному випадку з неперервності лінійного оператора випливає обмеженість, але зворотне істинне не завжди.
- Якщо X і Y — банахові простори, і образ оператора збігається з простором Y, то існує обернений оператор (так звана теорема про обернений оператор).
- Множина всіх лінійних неперервних операторів з X в Y сама є лінійним топологічним простором. Якщо X і Y нормовані, то також нормована операторною нормою. Якщо Y — банахів, то й є такою, незалежно від повноти X.
Властивості лінійного неперервного оператора дуже залежать від властивостей просторів X і Y. Наприклад, якщо X — скінченновимірний простір, то оператор буде цілком неперервним оператором, область його значень буде скінченновимірним лінійним підпростором, і кожен такий оператор можна подати у вигляді матриці[3].
Неперервність і збіжні послідовності
ред.Лінійний оператор , що діє з лінійного топологічного простору X у лінійний топологічний простір Y, неперервний тоді й лише тоді, коли для будь-якої послідовності точка X, із випливає .
Нехай ряд збігається і — лінійний неперервний оператор. Тоді виконується рівність
- .
Це означає, що до збіжних рядів у лінійних топологічних просторах лінійний оператор можна застосовувати почленно.
Якщо X, Y — банахові простори, то неперервний оператор переводить кожну слабко збіжну послідовність у слабко збіжну:
- якщо слабке, то слабке.
Пов'язані визначення
ред.- Лінійний оператор називають обмеженим знизу, якщо .
Див. також
ред.Література
ред.- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1980. — 495 с.
- Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М. : Физматгиз, 1963. — 264 с.
- Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М. : Наука, 1970. — 352 с.
Примітки
ред.- ↑ Лінійні неперервні функціонали мають специфічні властивості, які відсутні в загальному випадку, і породжують особливі математичні структури, тому теорію лінійних неперервних функціоналів розглядають окремо від загальної теорії.
- ↑ Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М. : Наука, 1968. — С. 98. Архівовано з джерела 2 жовтня 2021
- ↑ Також, у скінченновимірному просторі із базисом , лінійний неперервний оператор можна подати у вигляді , де — функції зі спряженого простору.