Лінійний неперервний оператор

Лінійний неперервний оператор $A:X\rightarrow Y$, що діє з лінійного топологічного простору X у лінійний топологічний простір Y — це лінійне відображення із X в Y, що має властивість неперервності.

Термін «лінійний неперервний оператор» зазвичай вживають у разі, коли Y багатовимірний. Якщо Y одновимірний, тобто збігається із самим полем ($\mathbb {R}$ або $\mathbb {C}$), то прийнято вживати термін лінійний неперервний функціонал. Множину всіх лінійних неперервних операторів із X в Y позначають $L(X,Y)$.

В теорії нормованих просторів лінійні неперервні оператори більш відомі як обмежені лінійні з причин, викладених нижче. Теорія лінійних неперервних операторів відіграє важливу роль у функціональному аналізі, математичній фізиці та обчислювальній математиці.

Властивості

• Якщо X скінченновимірний, то будь-який лінійний оператор неперервний.
• Неперервність лінійного оператора в нулі рівносильна його неперервності в будь-якій іншій точці (і, отже, у всьому X).
• Для нормованих просторів умови неперервності й обмеженості (тобто скінченності операторної норми) рівносильні.. В загальному випадку з неперервності лінійного оператора випливає обмеженість, але зворотне істинне не завжди.
• Якщо X і Y — банахові простори, і образ оператора $A\in L(X,Y)$ збігається з простором Y, то існує обернений оператор $A^{-1}\in L(Y,X)$ (так звана теорема про обернений оператор).
• Множина всіх лінійних неперервних операторів з X в Y сама є лінійним топологічним простором. Якщо X і Y нормовані, то $L(X,Y)$ також нормована операторною нормою. Якщо Y — банахів, то й $L(X,Y)$ є такою, незалежно від повноти X.

Властивості лінійного неперервного оператора дуже залежать від властивостей просторів X і Y. Наприклад, якщо X — скінченновимірний простір, то оператор $A\in L(X,Y)$ буде цілком неперервним оператором, область його значень $R(A)$ буде скінченновимірним лінійним підпростором, і кожен такий оператор можна подати у вигляді матриці.

Неперервність і збіжні послідовності

Лінійний оператор $A:X\rightarrow Y$, що діє з лінійного топологічного простору X у лінійний топологічний простір Y, неперервний тоді й лише тоді, коли для будь-якої послідовності $\{x_{n}\}$ точка X, із $x_{n}\rightarrow x_{0}$ випливає $Ax_{n}\rightarrow Ax_{0}$.

Нехай ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}=s$ збігається і $A:X\rightarrow Y$ — лінійний неперервний оператор. Тоді виконується рівність

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }Ax_{n}=As$.

Це означає, що до збіжних рядів у лінійних топологічних просторах лінійний оператор можна застосовувати почленно.

Якщо X, Y — банахові простори, то неперервний оператор переводить кожну слабко збіжну послідовність у слабко збіжну:

якщо $x_{n}\to x$ слабке, то $Ax_{n}\to Ax$ слабке.

Пов'язані визначення

• Лінійний оператор називають обмеженим знизу, якщо $\exists k>0,\forall x\in X,\|Ax\|\geq k\|x\|$.

Див. також

• Спряжений оператор

Література

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1980. — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М. : Физматгиз, 1963. — 264 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М. : Наука, 1970. — 352 с.