Лінійна інтерполяція — це інтерполяція функції f алгебраїчним двочленом P1 (x) = kx + c у точках x0 та x1 , які належать відрізку [a, b].
Для заданих двох червоних точок, синя лінія — лінійний інтерполянт між ними, і значення y в x можна знайти через лінійну інтерполяцію Лінійна інтерполяція функції (сині прямі).
ред.
З геометричної точки зору це означає заміну функції
f
{\displaystyle f}
(
x
0
,
f
(
x
0
)
)
{\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}
(
x
1
,
f
(
x
1
)
)
{\displaystyle (x_{1},f(x_{1}))}
Рівняння такої прямої має вигляд:
y
−
f
(
x
0
)
f
(
x
1
)
−
f
(
x
0
)
=
x
−
x
0
x
1
−
x
0
{\displaystyle {\frac {y-f(x_{0})}{f(x_{1})-f(x_{0})}}={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}
звідси для
x
∈
[
x
0
,
x
1
]
{\displaystyle x\in [x_{0},x_{1}]}
f
(
x
)
≈
y
=
P
1
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
(
x
1
)
−
f
(
x
0
)
x
1
−
x
0
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle f(x)\approx y=P_{1}(x)=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0})}
Це і є формула лінійної інтерполяції , причому
f
(
x
)
=
P
1
(
x
)
+
R
1
(
x
)
,
{\displaystyle f(x)=P_{1}(x)+R_{1}(x)\quad ,}
де
R
1
(
x
)
{\displaystyle R_{1}(x)}
R
1
(
x
)
=
f
″
(
ψ
)
2
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
,
ψ
∈
[
x
0
,
x
1
]
{\displaystyle R_{1}(x)={\frac {f''(\psi )}{2}}(x-x_{0})(x-x_{1}),\quad \psi \in [x_{0},x_{1}]}
Для неї є справедливою наступна оцінка:
|
R
1
(
x
)
|
⩽
M
2
2
max
|
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
|
=
M
2
h
2
8
,
M
2
=
max
[
a
,
b
]
|
f
″
(
x
)
|
,
h
=
x
1
−
x
0
.
{\displaystyle |R_{1}(x)|\leqslant {\frac {M_{2}}{2}}\max |(x-x_{0})(x-x_{1})|={\frac {M_{2}h^{2}}{8}},\quad M_{2}=\max _{[a,b]}|f''(x)|,\quad h=x_{1}-x_{0}.}
![{\displaystyle x\in [x_{0},x_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b72f9f14516b44b0a27ae1f019a438a3a6d0ccd)
![{\displaystyle R_{1}(x)={\frac {f''(\psi )}{2}}(x-x_{0})(x-x_{1}),\quad \psi \in [x_{0},x_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d14ef042e12da2baf2eb844dffb877e1ac4af5)
![{\displaystyle |R_{1}(x)|\leqslant {\frac {M_{2}}{2}}\max |(x-x_{0})(x-x_{1})|={\frac {M_{2}h^{2}}{8}},\quad M_{2}=\max _{[a,b]}|f''(x)|,\quad h=x_{1}-x_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c0a84b435fbd167443f8a40c108ae3e19813f5)
