Метод невизначених множників
Метод невизначених множників або метод невизначених множників Лагранжа — метод знаходження умовного локального екстремуму, запропонований італійським математиком Жозефом-Луї Лагранжем. Метод дозволяє звести задачу з пошуку умовного екстремуму до задачі на знаходження безумовного екстремуму.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/55/LagrangeMultipliers3D.png/300px-LagrangeMultipliers3D.png)
Метод невизначених множників | |
Названо на честь | Жозеф-Луї Лагранж |
---|---|
Досліджується в | Математичне програмування |
Формула | |
Позначення у формулі | , і |
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
![]() |
Задача
ред.Нехай потрібно знайти екстремум функції n змінних за s умов
- , де .
Опис методу
ред.Вводячи s невизначених множників Лагранжа , побудуємо функцію Лагранжа
- .
Задача знаходження умовного оптимуму зводиться до розв'язування системи n+s рівнянь із n+s змінними:
- ,
- .
Використання
ред.Метод невизначених множників Лагранжа широко використовується в математичній і теоретичній фізиці. За допомогою цього методу отримані рівняння Лагранжа першого роду, які дозволяють формально ввести сили реакції в фізичні задачі із в'язями. Невизначені множники Лагранжа використовує також варіаційний метод в квантовій механіці.
Приклад
ред.Приклад 1
ред.Знайти прямокутник із найбільшою площею за заданого периметра p.
Розв'язок
ред.Позначимо сторони прямокутника x та y. Потрібно знайти максимум функції
за умови
- .
Вводимо множник Лагранжа і шукаємо безумовний екстремум функції
Беручи похідні отримуємо систему рівнянь
Підставляючи значення та в останнє рівняння, отримуємо
- .
Отже, найбільшу площу серед прямокутників із заданим периметром має квадрат.
Приклад 2
ред.Цей приклад вимагає складніших обчислень, але це все що задача з одним обмеженням.
Припустимо, що потрібно знайти найбільші значення
за умови, що - і -координати лежать на колі з центром в початку координат з радіусом . Тобто з таким обмеженням
Через те, що маємо лише одне обмеження, то маємо і лише один множник, скажімо .
Обмеження тотожна нулю на колі радіуса . Будь-яке кратне можна додати до не змінивши при цьому у цікавій нам області (на колі, що задовольняє наше обмеження).
звідки ми можемо порахувати градієнт:
І отже:
(iii) це наше вихідне обмеження. (i) означає, що або . Якщо тоді з (iii) і далі з (ii). Якщо ж , підставляючи у (ii) маємо . Підставляючи у (iii) і розв'язуючи щодо маємо . Отже існує шість критичних точок :
Обчислюючи функцію мети в цих точках знаходимо, що
Отже, функція мети досягає глобального максимуму (за умови обмеження) у і глобального мінімуму в Точка це локальний мінімум а це локальний максимум що можна побачити використавши обрамлену матрицю Гесе для .
Зауважте, що хоча це критична точка , це не локальний екстремум Маємо, що
Маючи будь-який окіл , можна вибрати мале додатне і мале будь-якого знаку, щоб отримати значення як більше так і менше ніж . Це можна також побачити з того, що матриця Гесе для обчислена в цій точці (та й в будь-якій іншій знайденій критичній точці) являє собою невизначену матрицю. Кожна з критичних точок це сідлова точка .
Див. також
ред.Джерела
ред.- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)