Метод невизначених множників

Метод невизначених множників або метод невизначених множників Лагранжа — метод знаходження умовного локального екстремуму, запропонований італійським математиком Жозефом-Луї Лагранжем. Метод дозволяє звести задачу з пошуку умовного екстремуму до задачі на знаходження безумовного екстремуму.

Знайти x і y, що максимізують f(x, y) за умови, що g(x, y) = c (показана червоним).
Метод невизначених множників
Названо на честь Жозеф-Луї Лагранж
Досліджується в Математичне програмування
Формула
Позначення у формулі , і
Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика
CMNS: Метод невизначених множників у Вікісховищі

Задача

ред.

Нехай потрібно знайти екстремум функції n змінних   за s умов

 , де  .

Опис методу

ред.

Вводячи s невизначених множників Лагранжа  , побудуємо функцію Лагранжа

 .

Задача знаходження умовного оптимуму зводиться до розв'язування системи n+s рівнянь із n+s змінними:

 ,
 .

Використання

ред.

Метод невизначених множників Лагранжа широко використовується в математичній і теоретичній фізиці. За допомогою цього методу отримані рівняння Лагранжа першого роду, які дозволяють формально ввести сили реакції в фізичні задачі із в'язями. Невизначені множники Лагранжа використовує також варіаційний метод в квантовій механіці.

Приклад

ред.

Приклад 1

ред.

Знайти прямокутник із найбільшою площею за заданого периметра p.

Розв'язок

ред.

Позначимо сторони прямокутника x та y. Потрібно знайти максимум функції

 

за умови

 .

Вводимо множник Лагранжа   і шукаємо безумовний екстремум функції

 

Беручи похідні отримуємо систему рівнянь

 
 
 

Підставляючи значення   та   в останнє рівняння, отримуємо

 
 .
 

Отже, найбільшу площу серед прямокутників із заданим периметром має квадрат.

Приклад 2

ред.
 
Ілюстрація задачі оптимізації з обмеженнями

Цей приклад вимагає складніших обчислень, але це все що задача з одним обмеженням.

Припустимо, що потрібно знайти найбільші значення

 

за умови, що  - і  -координати лежать на колі з центром в початку координат з радіусом  . Тобто з таким обмеженням

 

Через те, що маємо лише одне обмеження, то маємо і лише один множник, скажімо  .

Обмеження   тотожна нулю на колі радіуса  . Будь-яке кратне   можна додати до   не змінивши при цьому   у цікавій нам області (на колі, що задовольняє наше обмеження).

 

звідки ми можемо порахувати градієнт:

 

І отже:

 

(iii) це наше вихідне обмеження. (i) означає, що   або  . Якщо   тоді з (iii)   і далі   з (ii). Якщо ж  , підставляючи у (ii) маємо  . Підставляючи у (iii) і розв'язуючи щодо   маємо  . Отже існує шість критичних точок  :

 

Обчислюючи функцію мети в цих точках знаходимо, що

 

Отже, функція мети досягає глобального максимуму (за умови обмеження) у   і глобального мінімуму в   Точка   це локальний мінімум   а   це локальний максимум   що можна побачити використавши обрамлену матрицю Гесе для  .

Зауважте, що хоча   це критична точка  , це не локальний екстремум   Маємо, що

 

Маючи будь-який окіл  , можна вибрати мале додатне   і мале   будь-якого знаку, щоб отримати значення   як більше так і менше ніж  . Це можна також побачити з того, що матриця Гесе для   обчислена в цій точці (та й в будь-якій іншій знайденій критичній точці) являє собою невизначену матрицю. Кожна з критичних точок   це сідлова точка  .

Див. також

ред.

Джерела

ред.