Кут паралельності

Кут паралельності в гіперболічній геометрії — кут між перпендикуляром до даної прямої і асимптотично паралельною прямою, проведеною з точки, що не лежить на даній прямій.

Кут паралельності θ, прямі ${\mathcal {x}}$ і ${\mathcal {y}}$ асимптотично паралельні до прямої $\ell$.

В евклідовій геометрії кут паралельності завжди прямий.

У гіперболічній геометрії, кут паралельності завжди гострий. На гіперболічній площині з кривиною −1 кут паралельності для точки на відстані $a$ від прямої зазвичай позначається $\Pi (a)$.

Властивості та співвідношення

• $\Pi (a)$ є гострим кутом при катеті, рівному $a$, у прямокутному гіперболічному трикутнику, який має дві асимптотичні паралельні сторони.
• $\lim _{a\to 0}\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi \quad {\text{ и }}\quad \lim _{a\to \infty }\Pi (a)=0.$

• $\sin \Pi (a)=\operatorname {sech} a={\frac {1}{\operatorname {ch} a}}={\frac {2}{e^{a}+e^{-a}}}\,$

• $\cos \Pi (a)=\operatorname {th} a={\frac {e^{a}-e^{-a}}{e^{a}+e^{-a}}}\,$

• $\operatorname {\rm {tg}} \Pi (a)=\operatorname {csch} a={\frac {1}{\operatorname {sh} a}}={\frac {2}{e^{a}-e^{-a}}}$

• $\operatorname {\rm {tg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{-a},$

• $\Pi (a)={\tfrac {1}{2}}\cdot \pi -\operatorname {gd} (a),$

де $\operatorname {\rm {sh}}$, $\operatorname {\rm {ch}}$, $\operatorname {\rm {th}}$, $\operatorname {\rm {sech}}$ і $\operatorname {\rm {csch}}$ — гіперболічна функція, а $\operatorname {\rm {gd}}$ — функція Гудермана.

Історія

Кут паралельності розглядав Лобачевський. Зокрема, він вивів співвідношення

$\operatorname {\rm {ctg}} \left({\tfrac {1}{2}}\cdot \Pi (a)\right)=e^{a}.$

Література

• Д. Мордухай-Болтовской. О геометрических построениях в пространстве Лобачевского // In mem. Lobatschevskii. — 1927. — Т. 2 (16 июня). — С. 67–82.
• Лобачевский, Николай Иванович. Геометрические исследования по теории параллельных линий. — М.-Л. : изд-во Академии Наук СССР, 1945. — 176 с. Архівовано з джерела 26 грудня 2021