Числа Ейлера

Немає перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще не перевіряли на відповідність правилам проєкту.

Числа Ейлера — у математиці — це послідовність E_n цілих чисел (послідовність A122045 в OEIS), які визначаються через розклад ряду Тейлора гіперболічного косинуса:

${\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}$

Ці числа тісно пов'язані зі спеціальними значеннями многочленів Ейлера.

E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}})

Вони також з'являються в розкладах ряду Тейлора для функцій секанса та гіперболічного секанса, причому остання з цих функцій використовується у визначенні. Крім того, числа Ейлера знаходять застосування в комбінаториці, зокрема під час підрахунку кількості чергуючих перестановок множини^[en] з парною кількістю елементів.

Приклади

Непарні індексовані числа Ейлера дорівнюють нулю. Парні числа (послідовність A028296 в OEIS) мають змінні знаки. Деякі значення:

E₀	=	1
E₂	=	−1
E₄	=	5
E₆	=	−61
E₈	=	1385
E₁₀	=	−50521
E₁₂	=	2702765
E₁₄	=	−199360981
E₁₆	=	19391512145
E₁₈	=	−2404879675441

Деякі автори переіндексовують послідовність, щоб пропустити нульові непарні числа Ейлера або змінити всі знаки на позитивні. Ця стаття дотримується наведеної вище угоди.

Явні формули

Як ітераційна сума

Явною формулою для чисел Ейлера є:^[1]:

$E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{\ell =0}^{k}{\binom {k}{\ell }}{\frac {(-1)^{\ell }(k-2\ell )^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}},$

де $i$ означає уявну одиницю з $i 2 = -1$ .

Як сума з розбиття

Число Ейлера $E 2 n$ можна представити як суму, що виникає з парного розбиття $2 n$ ^[2]

E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},

а також суму з непарного розбиття $2 n - 1$ ^[3]

E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},

де в обох випадках $K = k 1 + \cdot\cdot\cdot + k n$ та

\left({\begin{array}{c}K\\k_{1},\ldots ,k_{n}\end{array}}\right)\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}

є багаточленним коефіцієнтом. Дельта Кронекера у вищенаведених формулах обмежує суми над $k$ s до $2 k 1 + 4 k 2 + \cdot\cdot\cdot + 2 nk n = 2 n$ та до $k 1 + 3 k 2 + \cdot\cdot\cdot + (2 n - 1) k n = 2 n - 1$ , відповідно.

Як приклад,

{\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\&=-50\,521.\end{aligned}}

Як визначник

$E 2 n$ визначається як визначник.

{\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}\end{aligned}}

Асимптотичне наближення

Числа Ейлера швидко зростають для великих індексів, оскільки вони мають нижню межу.

|E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}

Ейлерові зигзагоподібні числа

Ряд Тейлора $sec x + tan x$ є

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n},

де $A n$ — зигзагоподібні числа Ейлера^[en], починаючи з

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, … (послідовність A000111 в OEIS)

Для всіх парних $n$ ,