Числа Ейлера
Числа Ейлера — у математиці — послідовність e n цілих чисел (послідовність A122045 в OEIS), що визначається розкладанням ряду Тейлора, де cosht — гіперболічний косинус.
- ,
- Числа Ейлера пов'язані зі спеціальним значенням многочленів Ейлера, а саме:
- Числа Ейлера з'являються в розширеннях ряду Тейлора секансом і гіперболічним секансом функцій. Останнє є функцією у визначенні. Вони також зустрічаються в комбінаториці, зокрема при підрахунку кількості перестановок множини з парним числом елементів, які чергуються.
Приклади
ред.Непарні індексовані числа Ейлера дорівнюють нулю. Парні індексовані (послідовність A028296 в OEIS) мають змінні знаки. Деякі значення
E0 | = | 1 |
E2 | = | −1 |
E4 | = | 5 |
E6 | = | −61 |
E8 | = | 1385 |
E10 | = | −50521 |
E12 | = | 2702765 |
E14 | = | −199360981 |
E16 | = | 19391512145 |
E18 | = | −2404879675441 |
Деякі автори повторно індексують послідовність, щоб пропустити непарні числа Ейлера з нульовим значенням, або змінити всі знаки на позитивні. Ця стаття дотримується прийнятої вище угоди.
Явні формули
ред.Як ітераційна сума
ред.Явною формулою для номерів Ейлера є:[1]
де i означає уявну одиницю з i2 = −1.
Як сума над розділами
ред.Число Ейлера E2n можна виразити у вигляді суми над парним розбиттям 2n,[2]
а також суму за непарним розбиттям 2n − 1,[3]
де в обох випадках K = k1 + ··· + kn та
є багаточленним коефіцієнтом. Дельта Кронекера у вищенаведених формулах обмежує суми над ks to 2k1 + 4k2 + ··· + 2nkn = 2n та до k1 + 3k2 + ··· + (2n − 1)kn = 2n − 1, відповідно.
Як приклад,
Як визначник
ред.E2n також дається визначником
Асимптотичне наближення
ред.Числа Ейлера швидко зростають для великих індексів, оскільки вони мають нижню межу
Ейлерові зигзагоподібні числа
ред.Ряд Тейлора sec x + tan x є
де An — зигзагоподібні числа Ейлера[en], починаючи з
1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, … (послідовність A000111 в OEIS)
Для всіх парних n,
де En — число Ейлера; і для всіх непарних n,
де Bn — число Бернуллі.
Для кожного n,
- [джерело?]
Див. також
ред.Примітки
ред.- ↑ Ross Tang, «An Explicit Formula for the Euler zigzag numbers (Up/down numbers) from power series» [Архівовано 11-05-2012 у Wayback Machine.]
- ↑ Vella, David C. (2008). Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers. Integers. 8 (1): A1.
- ↑ Malenfant, J. (2011). Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers. arXiv:1103.1585 [math.NT].
Зовнішні посилання
ред.- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), numbers Euler numbers, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
- Weisstein, Eric W. Euler number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.