Немає перевірених версій цієї сторінки; ймовірно, її ще не перевіряли на відповідність правилам проєкту.

Числа Ейлера — у математиці — це послідовність En цілих чисел (послідовність A122045 в OEIS), які визначаються через розклад ряду Тейлора гіперболічного косинуса:

Ці числа тісно пов'язані зі спеціальними значеннями многочленів Ейлера.

Вони також з'являються в розкладах ряду Тейлора для функцій секанса та гіперболічного секанса, причому остання з цих функцій використовується у визначенні. Крім того, числа Ейлера знаходять застосування в комбінаториці, зокрема під час підрахунку кількості чергуючих перестановок множини[en] з парною кількістю елементів.

Приклади

ред.

Непарні індексовані числа Ейлера дорівнюють нулю. Парні числа (послідовність A028296 в OEIS) мають змінні знаки. Деякі значення:

E0 = 1
E2 = −1
E4 = 5
E6 = −61
E8 = 1385
E10 = −50521
E12 = 2702765
E14 = −199360981
E16 = 19391512145
E18 = −2404879675441

Деякі автори переіндексовують послідовність, щоб пропустити нульові непарні числа Ейлера або змінити всі знаки на позитивні. Ця стаття дотримується наведеної вище угоди.

Явні формули

ред.

Як ітераційна сума

ред.

Явною формулою для чисел Ейлера є:[1]:

 

де i означає уявну одиницю з i2 = −1.

Як сума з розбиття

ред.

Число Ейлера E2n можна представити як суму, що виникає з парного розбиття 2n[2]

 

а також суму з непарного розбиття 2n − 1[3]

 

де в обох випадках K = k1 + ··· + kn та

 

є багаточленним коефіцієнтом. Дельта Кронекера у вищенаведених формулах обмежує суми над ks до 2k1 + 4k2 + ··· + 2nkn = 2n та до k1 + 3k2 + ··· + (2n − 1)kn = 2n − 1, відповідно.

Як приклад,

 

Як визначник

ред.

E2n визначається як визначник.

 

Асимптотичне наближення

ред.

Числа Ейлера швидко зростають для великих індексів, оскільки вони мають нижню межу.

 

Ейлерові зигзагоподібні числа

ред.

Ряд Тейлора sec x + tan x є

 

де An — зигзагоподібні числа Ейлера[en], починаючи з

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, … (послідовність A000111 в OEIS)

Для всіх парних n,

 

де En — число Ейлера; і для всіх непарних n,

 

де Bn — число Бернуллі.

Для кожного n,

 [джерело?]

Див. також

ред.

Примітки

ред.
  1. Ross Tang. An Explicit Formula for the Euler zigzag numbers (Up/down numbers) from power series (англ.) . Архів оригіналу за 11 травня 2012.
  2. Vella, David C. (2008). Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers. Integers. 8 (1): A1.
  3. Malenfant, J. (2011). Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers. arXiv:1103.1585 [math.NT].

Зовнішні посилання

ред.