Числа Ейлера — у математиці — послідовність e n цілих чисел (послідовність A122045 в OEIS), що визначається розкладанням ряду Тейлора, де cosht — гіперболічний косинус.

,
Числа Ейлера пов'язані зі спеціальним значенням многочленів Ейлера, а саме:
Числа Ейлера з'являються в розширеннях ряду Тейлора секансом і гіперболічним секансом функцій. Останнє є функцією у визначенні. Вони також зустрічаються в комбінаториці, зокрема при підрахунку кількості перестановок множини з парним числом елементів, які чергуються.

ПрикладиРедагувати

Непарні індексовані числа Ейлера дорівнюють нулю. Парні індексовані (послідовність A028296 в OEIS) мають змінні знаки. Деякі значення

E0 = 1
E2 = −1
E4 = 5
E6 = −61
E8 = 1385
E10 = −50521
E12 = 2702765
E14 = −199360981
E16 = 19391512145
E18 = −2404879675441

Деякі автори повторно індексують послідовність, щоб пропустити непарні числа Ейлера з нульовим значенням, або змінити всі знаки на позитивні. Ця стаття дотримується прийнятої вище угоди.

Явні формулиРедагувати

Як ітераційна сумаРедагувати

Явною формулою для номерів Ейлера є:[1]


 

де i означає уявну одиницю з i2 = −1.

Як сума над розділамиРедагувати

Число Ейлера E2n можна виразити у вигляді суми над парним розбиттям 2n,[2]

 

а також суму за непарним розбиттям 2n − 1,[3]

 

де в обох випадках K = k1 + ··· + kn та

 

є багаточленним коефіцієнтом. Дельта Кронекера у вищенаведених формулах обмежує суми над ks to 2k1 + 4k2 + ··· + 2nkn = 2n та до k1 + 3k2 + ··· + (2n − 1)kn = 2n − 1, відповідно.

Як приклад,

 

Як визначникРедагувати

E2n також дається визначником

 

Асимптотичне наближенняРедагувати

Числа Ейлера швидко зростають для великих індексів, оскільки вони мають нижню межу

 

Ейлерові зигзагоподібні числаРедагувати

Ряд Тейлора sec x + tan x є

 

де An — зигзагоподібні числа Ейлера, починаючи з

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, … (послідовність A000111 в OEIS)

Для всіх парних n,

 

де En — число Ейлера; і для всіх непарних n,

 

де Bn — число Бернуллі.

Для кожного n,

 [джерело?]

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Ross Tang, «An Explicit Formula for the Euler zigzag numbers (Up/down numbers) from power series» Архівовано 11-05-2012 у Wayback Machine.
  2. Vella, David C. (2008). Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers. Integers 8 (1): A1. 
  3. Malenfant, J. (2011). «Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers». arXiv:1103.1585 [math.NT]. 

Зовнішні посиланняРедагувати