Формула мультинома — твердження, що узагальнює біном Ньютона на випадок довільної кількості доданків:
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
m
)
n
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
x
1
k
1
x
2
k
2
…
x
m
k
m
.
{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\dots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots x_{m}^{k_{m}}.}
Числа
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
{\displaystyle {n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}}
поліноміальними (мультиноміальними) коефіцієнтами .
Їх визначено для всіх цілих невід’ємних чисел
n
{\displaystyle n}
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
{\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
=
n
{\displaystyle k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
=
n
!
k
1
!
k
2
!
⋯
k
m
!
=
(
k
1
k
1
)
(
k
1
+
k
2
k
2
)
⋯
(
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
k
m
)
{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}={k_{1} \choose k_{1}}{k_{1}+k_{2} \choose k_{2}}\cdots {k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m} \choose k_{m}}}
Біноміальний коефіцієнт
(
n
k
)
{\displaystyle {n \choose k}}
n
,
k
{\displaystyle n,k}
m
=
2
{\displaystyle m=2}
(
n
k
)
=
(
n
k
,
n
−
k
)
{\displaystyle {n \choose k}={n \choose k,\ n-k}}
комбінаториці мультиноміальний коефіцієнт
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
{\displaystyle {n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}}
розбиттів
n
{\displaystyle n}
множини на
m
{\displaystyle m}
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
{\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}}
ред.
Формулювання теореми можна записати в стислій формі використовуючи мультиіндекси :
(
x
1
+
⋯
+
x
m
)
n
=
∑
|
α
|
=
n
(
n
α
)
x
α
{\displaystyle (x_{1}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{|\alpha |=n}{n \choose \alpha }x^{\alpha }}
де α = (α1 ,α2 ,…,αm α = x 1 α1 x 2 α2 ⋯xm αm .
Доведення з використанням біному Ньютона і математичної індукції по m .
Спочатку для m = 1, дві сторони рівності рівні x 1 n k 1 = n в сумі. Для кроку індукції, припустимо що поліноміальна теорема вірна для т .
Потім
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
m
+
x
m
+
1
)
n
=
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
(
x
m
+
x
m
+
1
)
)
n
{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m}+x_{m+1})^{n}=(x_{1}+x_{2}+\cdots +(x_{m}+x_{m+1}))^{n}}
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
−
1
+
K
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
K
)
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
m
−
1
k
m
−
1
(
x
m
+
x
m
+
1
)
K
{\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_{m}+x_{m+1})^{K}}
ідучи за припущенням індукції. Застосовуючи біном до останнього фактору,
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
−
1
+
K
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
K
)
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
m
−
1
k
m
−
1
∑
k
m
+
k
m
+
1
=
K
(
K
k
m
,
k
m
+
1
)
x
m
k
m
x
m
+
1
k
m
+
1
{\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+K=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum _{k_{m}+k_{m+1}=K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}}
=
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
−
1
+
k
m
+
k
m
+
1
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
k
m
,
k
m
+
1
)
x
1
k
1
x
2
k
2
⋯
x
m
−
1
k
m
−
1
x
m
k
m
x
m
+
1
k
m
+
1
{\displaystyle =\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m-1}+k_{m}+k_{m+1}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_{m}^{k_{m}}x_{m+1}^{k_{m+1}}}
який завершує індукцію. Останній крок випливає з цього:
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
K
)
(
K
k
m
,
k
m
+
1
)
=
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
−
1
,
k
m
,
k
m
+
1
)
,
{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},K}{K \choose k_{m},k_{m+1}}={n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m-1},k_{m},k_{m+1}},}
в цьому легко переконатися записавши три коефіцієнти з використанням факторіалів наступним чином:
n
!
k
1
!
k
2
!
⋯
k
m
−
1
!
K
!
K
!
k
m
!
k
m
+
1
!
=
n
!
k
1
!
k
2
!
⋯
k
m
+
1
!
.
{\displaystyle {\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k_{m}!k_{m+1}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{m+1}!}}.}
∑
k
1
+
k
2
+
⋯
+
k
m
=
n
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
m
)
=
m
n
{\displaystyle \sum _{k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}=m^{n}}
ред.
