Формула тринома

Формула тринома — в математиці, формула натурального степеня для суми трьох одночленів.

Піраміда Паскаля, грані — Тернарна діаграма, трикутне число доданків.

$(a+b+c)^{n}=\sum _{{i,j,k} \atop {i+j+k=n}}{n \choose i,j,k}\,a^{i}\,b^{\;\!j}\;\!c^{k},$

сума береться по всіх комбінаціях невід'ємних i, j, k таких, що i + j + k = n. Триноміальні коефіцієнти дорівнюють:

${n \choose i,j,k}={\frac {n!}{i!\,j!\,k!}}\,.$

Формула є частковим випадком формули мультинома для m = 3. Коефіцієнти можна рахувати із узагальнення трикутника Паскаля — піраміди Паскаля.

Рекурсія

Коефіцієнти можна порахувати, застосувавши біном Ньютона двічі, після заміни $d=b+c$, порахуємо біноміальні коефіцієнти

${\begin{aligned}(a+b+c)^{n}&=(a+d)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{n-r}\,d^{r}\\&=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{n-r}\,(b+c)^{r}\\&=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}\,a^{n-r}\,\sum _{s=0}^{r}{r \choose s}\,b^{r-s}\,c^{s}.\end{aligned}}$

На наступному розгорнемо порахуємо $(b+c)^{r}$.

Спростимо запис для добутку біноміальних коефіцієнтів:

${n \choose r}\,{r \choose s}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}{\frac {r!}{s!(r-s)!}}={\frac {n!}{(n-r)!(r-s)!s!}},$

і перейменуємо $i=n-r,~j=r-s,~k=s$.

Властивості

Число доданків буде трикутним числом

$t_{n+1}={\frac {(n+2)(n+1)}{2}},$

Приклад

• $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$

Див. також

• Біном Ньютона
• Теорема мультинома
• Формули скороченого множення