Бімодульабелева група, що є одночасно правим модулем і лівим модулем (можливо, над іншим кільцем), причому ці дві структури узгоджуються.

Означення ред.

Нехай   і   — два кільця, тоді  -бімодулем називається абелева група  , що задовольняє умови:

  1.   є лівим  -модулем і правим  -модулем.
  2. Для будь-яких  
 

 -бімодуль називають також  -бімодулем.

Приклади ред.

  • Для будь-яких натуральних чисел   і   множина всіх матриць розміру   з дійсними елементами є  -бімодулем, де  кільце матриць розміру   і   — кільце матриць розміру  . Додавання і множення визначаються як додавання і множення матриць, розміри матриць обрані таким чином, щоб ці операції були визначені.
  • Якщо   — кільце, не обов'язково комутативне, то   є  -бімодулем. Також  -бімодулем є  прямий добуток   копій  .
  • Будь-який двосторонній ідеал в кільці   є  -бімодулем.
  • Будь-який модуль над комутативним кільцем   можна наділити природною структурою бімодуля, визначивши множення справа так само, як множення зліва. (Не всі бімодулі над комутативним кільцем мають такий вигляд).
  • Якщо   — лівий  -модуль, то   є  -бімодулем, де   — кільце цілих чисел. Аналогічним чином, праві  -модулі можна розглядати як  -бімодулі, а абелеві групи — як  -бімодулі.
  • Якщо  підкільце кільця  , то   є  -бімодулем.

Подальші означення і властивості ред.

Якщо   і   -бімодулі, відображення   називається гомоморфізмом бімодулів тоді і тільки тоді, коли воно є гомоморфізмом структур лівого і правого модулів.

 -бімодуль, насправді, те ж саме, що лівий модуль над кільцем  , де  протилежне кільце до   (порядок множення в ньому обертається). Гомоморфізми бімодулів — те ж саме, що гомоморфізм лівих  -модулів. Використовуючи ці факти, багато тверджень про модулях можна перевести на мову бімодулів. Зокрема, категорія  -бімодулів є абелевою і для неї виконуються звичайні теореми про ізоморфізм.

Однак у бімодулів є і особливі властивості, зокрема, в тому, що стосується тензорного добутку. Якщо   -бімодуль і   — (S, T)-бімодуль, то їх тензорний добуток (як модулів над  ) є  -бімодулем. Тензорний добуток бімодулів є асоціативним (з точністю до канонічного ізоморфізму), тому можна побудувати категорію, об'єкти якої — кільця, а морфізми — бімодулі. Більш того, якщо   є  -бімодулем і   є  -бімодулем, то множина   гомоморфізмів з   в   має структуру  -бімодуля. Ці твердження можна поширити на похідні функтори Ext і Tor.

Див. також ред.

Література ред.

  • P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-82184-781-3. P. 517—518.
  • Jacobson, N. (1989). Basic Algebra II. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1933-9. P. 133—136.
  • D. G. Northcott (198). A First Course of Homological Algebra. Cambridge University Press. ISBN 9780521299763.