Бімодуль

Бімодуль — абелева група, що є одночасно правим модулем і лівим модулем (можливо, над іншим кільцем), причому ці дві структури узгоджуються.

Означення

Нехай $R$ і $S$ — два кільця, тоді $(R,S)$-бімодулем називається абелева група $M$, що задовольняє умови:

1. $M$ є лівим $R$-модулем і правим $S$-модулем.
2. Для будь-яких $r\in R,s\in S,m\in M\colon$

$(rm)s=r(ms).$

$(R,R)$-бімодуль називають також $R$-бімодулем.

Приклади

• Для будь-яких натуральних чисел $m$ і $n$ множина всіх матриць розміру $n\times m$ з дійсними елементами є $(R,S)$-бімодулем, де $R$ — кільце матриць розміру $n\times n$ і $S$ — кільце матриць розміру $m\times m$. Додавання і множення визначаються як додавання і множення матриць, розміри матриць обрані таким чином, щоб ці операції були визначені.
• Якщо $R$ — кільце, не обов'язково комутативне, то $R$ є $R$-бімодулем. Також $R$-бімодулем є $R^{n}$ — прямий добуток $n$ копій $R$.
• Будь-який двосторонній ідеал в кільці $R$ є $R$-бімодулем.
• Будь-який модуль над комутативним кільцем $R$ можна наділити природною структурою бімодуля, визначивши множення справа так само, як множення зліва. (Не всі бімодулі над комутативним кільцем мають такий вигляд).
• Якщо $M$ — лівий $R$-модуль, то $M$ є $(R,\mathbb {Z} )$-бімодулем, де $\mathbb {Z}$ — кільце цілих чисел. Аналогічним чином, праві $R$-модулі можна розглядати як $(\mathbb {Z} ,R)$-бімодулі, а абелеві групи — як $(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )$-бімодулі.
• Якщо $R$ — підкільце кільця $S$, то $S$ є $R$-бімодулем.

Подальші означення і властивості

Якщо $M$ і $N$ — $(R,S)$-бімодулі, відображення $f\colon M\to N$ називається гомоморфізмом бімодулів тоді і тільки тоді, коли воно є гомоморфізмом структур лівого і правого модулів.

$(R,S)$-бімодуль, насправді, те ж саме, що лівий модуль над кільцем $R\otimes _{\mathbb {Z} }S^{op}$, де $S^{op}$ — протилежне кільце до $S$ (порядок множення в ньому обертається). Гомоморфізми бімодулів — те ж саме, що гомоморфізм лівих $R\otimes _{\mathbb {Z} }S^{op}$-модулів. Використовуючи ці факти, багато тверджень про модулях можна перевести на мову бімодулів. Зокрема, категорія $(R,S)$-бімодулів є абелевою і для неї виконуються звичайні теореми про ізоморфізм.

Однак у бімодулів є і особливі властивості, зокрема, в тому, що стосується тензорного добутку. Якщо $M$ — $(R,S)$-бімодуль і $N$ — (S, T)-бімодуль, то їх тензорний добуток (як модулів над $S$) є $(R,T)$-бімодулем. Тензорний добуток бімодулів є асоціативним (з точністю до канонічного ізоморфізму), тому можна побудувати категорію, об'єкти якої — кільця, а морфізми — бімодулі. Більш того, якщо $M$ є $(R,S)$-бімодулем і $L$ є $(T,S)$-бімодулем, то множина $\mathrm {Hom} _{S}(M,L)$ гомоморфізмів з $M$ в $L$ має структуру $(T,R)$-бімодуля. Ці твердження можна поширити на похідні функтори Ext і Tor.

Див. також

• Модуль над кільцем

Література

• P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-82184-781-3. P. 517—518.
• Jacobson, N. (1989). Basic Algebra II. W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1933-9. P. 133—136.
• D. G. Northcott (198). A First Course of Homological Algebra. Cambridge University Press. ISBN 9780521299763.