Відкрити головне меню

Бімодульабелева група, що є одночасно правим модулем і лівим модулем (можливо, над іншим кільцем), причому ці дві структури узгоджуються.

ОзначенняРедагувати

Нехай R і S — два кільця, тоді (R, S)-бімодулем називається абелева група M, що задовольняє умови:

  1. M є лівим R-модулем і правим S-модулем.
  2. Для будь-яких  
 

(R,R)-бімодуль називають також R-бімодулем.

ПрикладиРедагувати

  • Для будь-яких натуральних чисел m і n множина всіх матриць розміру n × m з дійсними елементами є (R, S)-бімодулем, де Rкільце матриць розміру n × n і S — кільце матриць розміру m × m. Додавання і множення визначаються як додавання і множення матриць, розміри матриць обрані таким чином, щоб ці операції були визначені.
  • Якщо R — кільце, не обов'язково комутативне, то R є R-бімодулем. Також R-бімодулем є Rnпрямий добуток n копій R.
  • Будь-який двосторонній ідеал в кільці R є R-бімодулем.
  • Будь-який модуль над комутативним кільцем R можна наділити природною структурою бімодуля, визначивши множення справа так само, як множення зліва. (Не всі бімодулі над комутативним кільцем мають такий вигляд).
  • Якщо M — лівий R-модуль, то M є (R, Z)-бімодулем, де Z — кільце цілих чисел. Аналогічним чином, праві R-модулі можна розглядати як (Z, R)-бімодулі, а абелеві групи — як (Z, Z)-бімодулі.
  • Якщо R — підкільце кільця S, то S є R-бімодулем.

Подальші означення і властивостіРедагувати

Якщо M і N — (R, S)-бімодулі, відображення f: MN називається гомоморфізмом бімодулів тоді і тільки тоді, коли воно є гомоморфізмом структур лівого і правого модулів.

(R, S)-бімодуль, насправді, те ж саме, що лівий модуль над кільцем  , де Sopпротилежне кільце до S (порядок множення в ньому обертається). Гомоморфізми бімодулів — те ж саме, що гомоморфізм лівих  -модулів. Використовуючи ці факти, багато тверджень про модулях можна перевести на мову бімодулів. Зокрема, категорія (R, S)-бімодулів є абелевою і для неї виконуються звичайні теореми про ізоморфізм.

Однак у бімодулів є і особливі властивості, зокрема, в тому, що стосується тензорного добутку. Якщо M — (R, S)-бімодуль і N — (S, T)-бімодуль, то їх тензорний добуток (як модулів над S) є (R, T)-бімодулем. Тензорний добуток бімодулів є асоціативним (з точністю до канонічного ізоморфізму), тому можна побудувати категорію, об'єкти якої — кільця, а морфізми — бімодулі. Більш того, якщо M є (R, S)-бімодулем і L є (T, S)-бімодулем, то множина HomS (M, L) гомоморфізмів з M в L має структуру (T, R)-бімодуля. Ці твердження можна поширити на похідні функтори Ext і Tor.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати