Відкрити головне меню

ПрикладРедагувати

Матриця   складається з наступних блоків (матриць): 

І може бути записана як блочна матриця

 

Множення блочних матрицьРедагувати

Множення блочних матриць може бути обчислене тільки за допомогою операцій над блоками. Якщо

  — матриця розміру m×p, поділена на q×s блоків,
  — матриця розміру p×n, поділена на s×r блоків,

тоді добуток

 

буде матрицею розміру m×n, поділеною на q×r блоків. Блоки обчислюватимуться за формулою:

 

Блочні діагональні матриціРедагувати

Блочна діагональна матриця — блочна матриця що є квадратною матрицею, блоки також є квадратними матрицями і блоки поза основною діагоналлю є нульовими матрицями. Тобто має форму

 

де Ak — квадратні матриці; іншими словами, пряма сума матриць A1, …, An. Записується A1   A2   An  чи  diag(A1, A2, , An).

Визначник та слід матриці мають властивості:

 ,
 .

Блочна тридіагональна матрицяРедагувати

Блочна тридіагональна матриця - це інший вид блочної матриці, який виглядає майже так само як блочна діагональна матриця: квадратна матриця, яка має квадратні матриці (блоки) на головній діагоналі та діагоналях під та над нею, а всі інші блоки - нульові матриці.

Це по-суті тридіагональна матриця, але на місці скалярів в неї підматриці. Така матриця має наступний вигляд:

 

де Ak, Bk та Ck - квадратні підматриці нижчої головної та вищої діагоналі відповідно.

Блочні тридіагональні матриці часто зустрічаються в числових розв'язках інженерних проблем (наприклад в обчислювальній гідродинаміці). Існують оптимізовані чисельні методи для LU-розкладу, і відповідно ефективні алгоритми розв'язку систем рівнянь з матрицею кофіцієнтів яка є блочною тридіагональною матрицею. Алгоритм Томаса, який використовується для ефективного розв'язку систем рівнянь з тридіагональною матрицею також може застосовуватись при використанні матричних операцій до блочних тридіагональних матриць.

Пряма сумаРедагувати

Для довільних матриць A (розміру m×n) та B (розміру p×q), прямою сумою (позначається A   B) буде матриця

 

Наприклад:

 

Ця операція узагальнюється на масиви довільної розмірності ( не потрібно щоб A та B мали однакову розмірність).

Прямий добутокРедагувати

Докладніше: Добуток Кронекера

Прямий добутокбінарна операція над матрицями довільного розміру, позначається  . Результатом є блочна матриця.

Прямий добуток не слід путати зі звичайним множенням матриць. Операція названа в честь німецького математика Леопольда Кронекера.

ВизначенняРедагувати

Якщо A — матриця розміру m×n, B — матриця розміру p×q, тоді добутком Кронекера є блочна матриця розміру mp×nq

 

Білінійність, асоціативність та некомутативністьРедагувати

 
 
 
 
де A, B та C є матрицями, а k — скаляр.
 

Якщо A та B квадратні матриці, тоді A   B та B   A є перестановочно подібними, тобто, P = QT.

ТранспонуванняРедагувати

Операція транспонування є дистрибутивною відносно добутку Кронекера

 

Мішаний добутокРедагувати

  • Якщо A, B, C та D є матрицями такого розміру, що існують добутки AC та BD, тоді
 
  • A   B є оборотною тоді і тільки тоді коли A та B є оборотними, і тоді
 

Сума та експонента КронекераРедагувати

  • Якщо A — матриця розміру n×n, B — матриця розміру m×m і  одинична матриця розміру k×k тоді ми можемо визначити суму Кронекера  , як
 
  • Також справедливо
 

Спектр, слід та визначникРедагувати

  • Якщо A та B квадратні матриці розміру n та q відповідно. Якщо λ1, ..., λnвласні значення матриці A та μ1, ..., μq власні значення матриці B. Тоді власними значеннями A   B є
 
  • Слід та визначник добутку Кронекера рівні
 
 

Сингулярний розклад та рангРедагувати

 

Ненульові сингулярні значення матриці B:

 

Тоді добуток Кронекера A   B має rArB ненульових сингулярних значень

 
  • Ранг матриці рівний кількості ненульових сингулярних значень, отже
 

ДжерелаРедагувати