Блочна матриця — матриця , що уявно поділена на однакові прямокутні частини (блоки), які самі розглядаються як матриці.
Матриця
P
=
(
1
1
2
2
1
1
2
2
3
3
4
4
3
3
4
4
)
{\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{pmatrix}}}
P
11
=
(
1
1
1
1
)
,
P
12
=
(
2
2
2
2
)
,
P
21
=
(
3
3
3
3
)
,
P
22
=
(
4
4
4
4
)
.
{\displaystyle P_{11}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}},P_{12}={\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}},P_{21}={\begin{pmatrix}3&3\\3&3\end{pmatrix}},P_{22}={\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}}.}
І може бути записана як блочна матриця
P
=
(
P
11
P
12
P
21
P
22
)
.
{\displaystyle P={\begin{pmatrix}P_{11}&P_{12}\\P_{21}&P_{22}\end{pmatrix}}.}
ред.
Множення блочних матриць може бути обчислене тільки за допомогою операцій над блоками. Якщо
A
=
(
A
11
A
12
⋯
A
1
s
A
21
A
22
⋯
A
2
s
⋮
⋮
⋱
⋮
A
q
1
A
q
2
⋯
A
q
s
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1s}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{q1}&A_{q2}&\cdots &A_{qs}\end{pmatrix}}}
m ×p , поділена на q ×s блоків,
B
=
(
B
11
B
12
⋯
B
1
r
B
21
B
22
⋯
B
2
r
⋮
⋮
⋱
⋮
B
s
1
B
s
2
⋯
B
s
r
)
{\displaystyle B={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1r}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{s1}&B_{s2}&\cdots &B_{sr}\end{pmatrix}}}
p ×n , поділена на s ×r блоків,тоді добуток
C
=
A
B
{\displaystyle C=AB}
буде матрицею розміру m ×n , поділеною на q ×r блоків. Блоки обчислюватимуться за формулою:
C
i
j
=
∑
k
=
1
s
A
i
k
B
k
j
.
{\displaystyle C_{ij}=\sum _{k=1}^{s}A_{ik}B_{kj}.}
Або, використовуючи нотацію Ейнштейна , цю формулу можна записати так:
C
i
j
=
A
i
k
B
k
j
.
{\displaystyle C_{ij}=A_{ik}B_{kj}.}
ред.
Нехай A , B , C , D є матрицями розмірів p ×p , p ×q , q ×p і q ×q відповідно і P — наступна блочна матриця:
P
=
(
A
B
C
D
)
{\displaystyle P={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}
Якщо A доповнення Шура D - CA -1 B A матриці P є оборотними матрицями, то
P
−
1
=
(
A
−
1
+
A
−
1
B
(
D
−
C
A
−
1
B
)
−
1
C
A
−
1
−
A
−
1
B
(
D
−
C
A
−
1
B
)
−
1
−
(
D
−
C
A
−
1
B
)
−
1
C
A
−
1
(
D
−
C
A
−
1
B
)
−
1
)
.
{\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}A^{-1}+A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\\-\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}&\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\end{pmatrix}}.}
[ 1] Якщо D A - BD -1 C D матриці P є оборотними матрицями, то
P
−
1
=
(
(
A
−
B
D
−
1
C
)
−
1
−
(
A
−
B
D
−
1
C
)
−
1
B
D
−
1
−
D
−
1
C
(
A
−
B
D
−
1
C
)
−
1
D
−
1
+
D
−
1
C
(
A
−
B
D
−
1
C
)
−
1
B
D
−
1
)
.
{\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{pmatrix}}.}
Якщо наведені вище умови виконуються разом, то
P
−
1
=
(
(
A
−
B
D
−
1
C
)
−
1
0
0
(
D
−
C
A
−
1
B
)
−
1
)
(
I
p
−
B
D
−
1
−
C
A
−
1
I
q
)
.
{\displaystyle P^{-1}={\begin{pmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&0\\0&\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{p}&-BD^{-1}\\-CA^{-1}&I_{q}\end{pmatrix}}.}
ред.
Для блочної матриці, яка складається з чотирьох матриць A , B , C , D розмірів p ×p , p ×q , q ×p і q ×q відповідно, при умові, що одна з матриць B або C нульова , можна вивести формулу визначника , яка схожа на формулу визначника матриці 2×2:
det
(
A
0
C
D
)
=
det
(
A
)
det
(
D
)
=
det
(
A
B
0
D
)
.
{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}.}
Якщо A — оборотна матриця, то
det
(
A
B
C
D
)
=
det
(
A
)
det
(
D
−
C
A
−
1
B
)
.
{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right).}
Якщо D — оборотна матриця, то
det
(
A
B
C
D
)
=
det
(
D
)
det
(
A
−
B
D
−
1
C
)
.
{\displaystyle \det {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right).}
Тепер нехай всі блоки будуть квадратними матрицями однакового розміру і
P
=
(
A
B
C
D
)
.
{\displaystyle P={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}.}
Якщо A і B комутують , то
det
P
=
det
(
D
A
−
C
B
)
.
{\displaystyle \det P=\det(DA-CB).}
[ 2] [ 3]
Якщо A і C комутують, то
det
P
=
det
(
A
D
−
C
B
)
.
{\displaystyle \det P=\det(AD-CB).}
Якщо B і D комутують, то
det
P
=
det
(
D
A
−
B
C
)
.
{\displaystyle \det P=\det(DA-BC).}
Якщо C і D комутують, то
det
P
=
det
(
A
D
−
B
C
)
.
{\displaystyle \det P=\det(AD-BC).}
ред.
Блочна діагональна матриця — це блочна матриця що є квадратною матрицею , блоки якої також є квадратними матрицями і блоки поза основною діагоналлю є нульовими матрицями . Тобто має форму
A
=
(
A
1
0
⋯
0
0
A
2
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
A
n
)
,
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}\end{pmatrix}},}
де A k A 1 , …, A n A 1
⊕
{\displaystyle \oplus }
A 2
⊕
…
⊕
{\displaystyle \oplus \,\ldots \,\oplus }
A n A 1 , A 2 ,
…
{\displaystyle \ldots }
A n
Визначник та слід такої матриці мають наступні властивості:
det
A
=
∏
k
=
1
n
det
A
k
{\displaystyle \det A=\prod _{k=1}^{n}\det A_{k}}
tr
A
=
∑
k
=
1
n
tr
A
k
{\displaystyle \operatorname {tr} A=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {tr} A_{k}}
Блочна діагональна матриця оборотна тоді і тільки тоді , коли кожен з її блоків на діагоналі є оборотною матрицею, і тоді
(
A
1
0
⋯
0
0
A
2
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
A
n
)
−
1
=
(
A
1
−
1
0
⋯
0
0
A
2
−
1
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
A
n
−
1
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}A_{1}^{-1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}^{-1}\end{pmatrix}}.}
Для довільного натурального m буде:
(
A
1
0
⋯
0
0
A
2
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
A
n
)
m
=
(
A
1
m
0
⋯
0
0
A
2
m
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
A
n
m
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}\end{pmatrix}}^{m}={\begin{pmatrix}A_{1}^{m}&0&\cdots &0\\0&A_{2}^{m}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}^{m}\end{pmatrix}}.}
Множина власних векторів блочної матриці збігається з об'єднанням множин власних векторів матриць на її діагоналі. Те саме стосується і власних значень .
ред.
Блочна тридіагональна матриця - це квадратна матриця , яка має квадратні матриці (блоки) на головній діагоналі та діагоналях під та над нею, а всі інші блоки - нульові матриці.
Це по-суті тридіагональна матриця , але на місці скалярів в неї підматриці. Така матриця має наступний вигляд:
A
=
(
B
1
C
1
⋯
0
A
2
B
2
C
2
⋱
⋱
⋱
⋮
A
k
B
k
C
k
⋮
⋱
⋱
⋱
A
n
−
1
B
n
−
1
C
n
−
1
0
⋯
A
n
B
n
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}B_{1}&C_{1}&&&\cdots &&0\\A_{2}&B_{2}&C_{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&A_{k}&B_{k}&C_{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&A_{n-1}&B_{n-1}&C_{n-1}\\0&&\cdots &&&A_{n}&B_{n}\end{pmatrix}}}
де A k B k C k
Блочні тридіагональні матриці зустрічаються при розв'язанні інженерних задач (наприклад в обчислювальній гідродинаміці ). Існують оптимізовані чисельні методи для LU-розкладу , і відповідно ефективні алгоритми розв'язку систем рівнянь з матрицею кофіцієнтів, яка є блочною тридіагональною матрицею. Алгоритм Томаса , який використовується для ефективного розв'язку систем рівнянь з тридіагональною матрицею також може застосовуватись при використанні матричних операцій до блочних тридіагональних матриць.
Для довільних матриць A (розміру m ×n ) та B (розміру p ×q ), прямою сумою (позначається A
⊕
{\displaystyle \oplus }
B ) буде матриця
A
⊕
B
=
(
a
11
⋯
a
1
n
0
⋯
0
⋮
⋯
⋮
⋮
⋯
⋮
a
m
1
⋯
a
m
n
0
⋯
0
0
⋯
0
b
11
⋯
b
1
q
⋮
⋯
⋮
⋮
⋯
⋮
0
⋯
0
b
p
1
⋯
b
p
q
)
.
{\displaystyle A\oplus B={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{pmatrix}}.}
Наприклад:
(
1
3
2
2
3
1
)
⊕
(
1
6
0
1
)
=
(
1
3
2
0
0
2
3
1
0
0
0
0
0
1
6
0
0
0
0
1
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{pmatrix}}\oplus {\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.}
Ця операція узагальнюється на масиви довільної розмірності (не потрібно щоб A та B мали однакову розмірність).
