Блочна матриця — прямокутна матриця , що уявно поділена на однакові прямокутні частини (блоки), які самі розглядаються як матриці.
Матриця
P
=
[
1
1
2
2
1
1
2
2
3
3
4
4
3
3
4
4
]
{\displaystyle \mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{bmatrix}}}
P
11
=
[
1
1
1
1
]
,
P
12
=
[
2
2
2
2
]
,
P
21
=
[
3
3
3
3
]
,
P
22
=
[
4
4
4
4
]
.
{\displaystyle \mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&2\\2&2\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&4\\4&4\end{bmatrix}}.}
І може бути записана як блочна матриця
P
p
a
r
t
i
t
i
o
n
e
d
=
[
P
11
P
12
P
21
P
22
]
.
{\displaystyle \mathbf {P} _{\mathrm {partitioned} }={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.}
Множення блочних матриць Редагувати
Множення блочних матриць може бути обчислене тільки за допомогою операцій над блоками. Якщо
A
=
[
A
11
A
12
⋯
A
1
s
A
21
A
22
⋯
A
2
s
⋮
⋮
⋱
⋮
A
q
1
A
q
2
⋯
A
q
s
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}&\cdots &\mathbf {A} _{1s}\\\mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}&\cdots &\mathbf {A} _{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {A} _{q1}&\mathbf {A} _{q2}&\cdots &\mathbf {A} _{qs}\end{bmatrix}}}
B
=
[
B
11
B
12
⋯
B
1
r
B
21
B
22
⋯
B
2
r
⋮
⋮
⋱
⋮
B
s
1
B
s
2
⋯
B
s
r
]
{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}&\cdots &\mathbf {B} _{1r}\\\mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}&\cdots &\mathbf {B} _{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {B} _{s1}&\mathbf {B} _{s2}&\cdots &\mathbf {B} _{sr}\end{bmatrix}}}
тоді добуток
C
=
A
B
{\displaystyle \mathbf {C=AB} }
буде матрицею розміру m×n, поділеною на q×r блоків. Блоки обчислюватимуться за формулою:
C
α
β
=
∑
γ
=
1
s
A
α
γ
B
γ
β
.
{\displaystyle \mathbf {C} _{\alpha \beta }=\sum _{\gamma =1}^{s}\mathbf {A} _{\alpha \gamma }\mathbf {B} _{\gamma \beta }.}
Блочні діагональні матриці Редагувати
Блочна діагональна матриця — блочна матриця що є квадратною матрицею , блоки також є квадратними матрицями і блоки поза основною діагоналлю є нульовими матрицями . Тобто має форму
A
=
[
A
1
0
⋯
0
0
A
2
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
A
n
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{1}&0&\cdots &0\\0&\mathbf {A} _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\mathbf {A} _{n}\end{bmatrix}}}
де A k A 1 , …, A n A 1
⊕
{\displaystyle \oplus }
A 2
⊕
…
⊕
{\displaystyle \oplus \,\ldots \,\oplus }
A n чи diag(A 1 , A 2 ,
…
{\displaystyle \ldots }
A n ).
Визначник та слід матриці мають властивості:
det
A
=
det
A
1
⋯
det
A
n
{\displaystyle \operatorname {det} \mathbf {A} =\operatorname {det} \mathbf {A} _{1}\cdots \operatorname {det} \mathbf {A} _{n}}
trace
A
=
trace
A
1
+
⋯
+
trace
A
n
{\displaystyle \operatorname {trace} \mathbf {A} =\operatorname {trace} \mathbf {A} _{1}+\cdots +\operatorname {trace} \mathbf {A} _{n}}
Блочна тридіагональна матриця Редагувати
Блочна тридіагональна матриця - це інший вид блочної матриці, який виглядає майже так само як блочна діагональна матриця: квадратна матриця , яка має квадратні матриці (блоки) на головній діагоналі та діагоналях під та над нею, а всі інші блоки - нульові матриці.
Це по-суті тридіагональна матриця , але на місці скалярів в неї підматриці. Така матриця має наступний вигляд:
A
=
[
B
1
C
1
⋯
0
A
2
B
2
C
2
⋱
⋱
⋱
⋮
A
k
B
k
C
k
⋮
⋱
⋱
⋱
A
n
−
1
B
n
−
1
C
n
−
1
0
⋯
A
n
B
n
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {B} _{1}&\mathbf {C} _{1}&&&\cdots &&0\\\mathbf {A} _{2}&\mathbf {B} _{2}&\mathbf {C} _{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&\mathbf {A} _{k}&\mathbf {B} _{k}&\mathbf {C} _{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&\mathbf {A} _{n-1}&\mathbf {B} _{n-1}&\mathbf {C} _{n-1}\\0&&\cdots &&&\mathbf {A} _{n}&\mathbf {B} _{n}\end{bmatrix}}}
де A k B k C k
Блочні тридіагональні матриці часто зустрічаються в числових розв'язках інженерних проблем (наприклад в обчислювальній гідродинаміці ). Існують оптимізовані чисельні методи для LU-розкладу , і відповідно ефективні алгоритми розв'язку систем рівнянь з матрицею кофіцієнтів яка є блочною тридіагональною матрицею. Алгоритм Томаса , який використовується для ефективного розв'язку систем рівнянь з тридіагональною матрицею також може застосовуватись при використанні матричних операцій до блочних тридіагональних матриць.
Для довільних матриць A (розміру m ×n ) та B (розміру p ×q ), прямою сумою (позначається A
⊕
{\displaystyle \oplus }
B ) буде матриця
A
⊕
B
=
[
a
11
⋯
a
1
n
0
⋯
0
⋮
⋯
⋮
⋮
⋯
⋮
a
m
1
⋯
a
m
n
0
⋯
0
0
⋯
0
b
11
⋯
b
1
q
⋮
⋯
⋮
⋮
⋯
⋮
0
⋯
0
b
p
1
⋯
b
p
q
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.}
Наприклад:
[
1
3
2
2
3
1
]
⊕
[
1
6
0
1
]
=
[
1
3
2
0
0
2
3
1
0
0
0
0
0
1
6
0
0
0
0
1
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}
Ця операція узагальнюється на масиви довільної розмірності ( не потрібно щоб A та B мали однакову розмірність).
Прямий добуток — бінарна операція над матрицями довільного розміру, позначається
⊗
{\displaystyle \otimes }
блочна матриця .
Прямий добуток не слід путати зі звичайним множенням матриць. Операція названа в честь німецького математика Леопольда Кронекера .
Якщо A — матриця розміру m ×n , B — матриця розміру p ×q , тоді добутком Кронекера є блочна матриця розміру mp ×nq
A
⊗
B
=
[
a
11
B
⋯
a
1
n
B
⋮
⋱
⋮
a
m
1
B
⋯
a
m
n
B
]
.
{\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.}
Білінійність, асоціативність та некомутативність Редагувати
A
⊗
(
B
+
C
)
=
A
⊗
B
+
A
⊗
C
,
{\displaystyle A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C,}
(
A
+
B
)
⊗
C
=
A
⊗
C
+
B
⊗
C
,
{\displaystyle (A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C,}
(
k
A
)
⊗
B
=
A
⊗
(
k
B
)
=
k
(
A
⊗
B
)
,
{\displaystyle (kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),}
(
A
⊗
B
)
⊗
C
=
A
⊗
(
B
⊗
C
)
,
{\displaystyle (A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),}
де A , B та C є матрицями, а k — скаляр.
A
⊗
B
=
P
(
B
⊗
A
)
Q
.
{\displaystyle A\otimes B=P\,(B\otimes A)\,Q.}
Якщо A та B квадратні матриці , тоді A
⊗
{\displaystyle \otimes }
B та B
⊗
{\displaystyle \otimes }
A є перестановочно подібними , тобто, P = Q T .
Операція транспонування є дистрибутивною відносно добутку Кронекера
(
A
⊗
B
)
T
=
A
T
⊗
B
T
.
{\displaystyle (A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}.}
Якщо A , B , C та D є матрицями такого розміру, що існують добутки AC та BD , тоді
(
A
⊗
B
)
(
C
⊗
D
)
=
A
C
⊗
B
D
.
{\displaystyle (A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD.}
A
⊗
{\displaystyle \otimes }
B є оборотною тоді і тільки тоді коли A та B є оборотними, і тоді
(
A
⊗
B
)
−
1
=
A
−
1
⊗
B
−
1
.
{\displaystyle (A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}.}
Сума та експонента Кронекера Редагувати
Якщо A — матриця розміру n ×n , B — матриця розміру m ×m і
I
k
{\displaystyle I_{k}}
одинична матриця розміру k ×k тоді ми можемо визначити суму Кронекера
⊕
{\displaystyle \oplus }
A
⊕
B
=
A
⊗
I
m
+
I
n
⊗
B
.
{\displaystyle A\oplus B=A\otimes I_{m}+I_{n}\otimes B.}
e
A
⊕
B
=
e
A
⊗
e
B
.
{\displaystyle e^{A\oplus B}=e^{A}\otimes e^{B}.}
Спектр, слід та визначник Редагувати
Якщо A та B квадратні матриці розміру n та q відповідно. Якщо λ1 , ..., λn власні значення матриці A та μ1 , ..., μq B . Тоді власними значеннями A
⊗
{\displaystyle \otimes }
B є
λ
i
μ
j
,
i
=
1
,
…
,
n
,
j
=
1
,
…
,
q
.
{\displaystyle \lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,q.}
Слід та визначник добутку Кронекера рівні
tr
(
A
⊗
B
)
=
tr
(
A
)
tr
(
B
)
,
{\displaystyle \operatorname {tr} (A\otimes B)=\operatorname {tr} (A)\,\operatorname {tr} (B),}
det
(
A
⊗
B
)
=
(
det
A
)
q
(
det
B
)
n
.
{\displaystyle \det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{n}.}
Сингулярний розклад та ранг Редагувати
σ
A
,
i
,
i
=
1
,
…
,
r
A
.
{\displaystyle \sigma _{A,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{A}.}
Ненульові сингулярні значення матриці B :
σ
B
,
i
,
i
=
1
,
…
,
r
B
.
{\displaystyle \sigma _{B,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{B}.}
Тоді добуток Кронекера A
⊗
{\displaystyle \otimes }
B має r A r B
σ
A
,
i
σ
B
,
j
,
i
=
1
,
…
,
r
A
,
j
=
1
,
…
,
r
B
.
{\displaystyle \sigma _{A,i}\sigma _{B,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{A},\,j=1,\ldots ,r_{B}.}
Ранг матриці рівний кількості ненульових сингулярних значень, отже
rank
(
A
⊗
B
)
=
rank
(
A
)
rank
(
B
)
.
{\displaystyle \operatorname {rank} (A\otimes B)=\operatorname {rank} (A)\,\operatorname {rank} (B).}
