Тотожність Якобі

Білінійна операція $[\cdot ,\cdot ]\colon V\times V\rightarrow V$ на лінійному просторі V задовольняє тотожність Якобі, якщо:

$\forall \,x,y,z\in V\colon [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0$

Названо на честь Карла Густава Якобі. Поняття тотожності Якобі зазвичай пов'язане з алгебрами Лі.

Приклади

Наступні операції задовольняють тотожність Якобі:

• Комутатор операторів
• Комутатор в алгебрі Лі
• Дужки Лі векторних полів
• Дужки Пуассона функцій на симплектичному многовиді
• Векторний добуток векторів

Значення в алгебрах Лі

Якщо множення $[{\dot {,}}\cdot ]$ є антикоммутативним $([x,y]=-[y,x])$, то тотожності Якобі можна надати дещо інший вигляд, використовуючи приєднане представлення алгебри Лі :

$\mathrm {ad} _{x}\colon y\mapsto [x,y]$

Записавши тотожність Якобі у формі

$[x,[y,z]]=[y,[x,z]]+[[x,y],z]$

отримаємо, що воно рівносильне умові виконання правила Лейбніца для оператора $\mathrm {ad} _{x}$ :

$\mathrm {ad} _{x}\,[y,z]=[\mathrm {ad} _{x}\,y,z]+[y,\mathrm {ad} _{x}\,z]$

Таким чином, $\mathrm {ad} _{x}$ — диференціювання в алгебрі Лі. Будь—яке таке диференціювання називається внутрішнім. Тотожності Якобі також можна надати вигляду

$\mathrm {ad} _{[x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]=\mathrm {ad} _{x}\mathrm {ad} _{y}-\mathrm {ad} _{y}\mathrm {ad} _{x}$

Це означає, що оператор $\mathrm {ad}$ задає гомоморфізм даної алгебри Лі в алгебру Лі її диференціювань.

Градуйовані тотожності Якобі

Нехай $\omega =\oplus _{i}\omega ^{i}$ — градуйована алгебра, $[\cdot ,\cdot ]$ — множення в ній. Кажуть, що множення в $\Omega$ задовольняє градуйованій тотожності Якобі, якщо для будь—яких елементів $\omega _{i}\in \omega ^{i}$

$[\omega _{m},[\omega _{k},\omega _{l}]=[[\omega _{m},\omega _{k}],\omega _{l}]+(-1)^{mk}[\omega _{k},[\omega _{m},\omega _{l}]$

Посилання

• Weisstein, Eric W. Jacobi Identities(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.