Вільна алгебра Лі

У математичній теорії алгебр Лі вільна алгебра Лі є вільним об'єктом у категорії алгебр Лі із гомоморфізмами Лі. Виходячи з вільної алгебри, можна побудувати алгебри Лі з заданими генераторами і співвідношеннями подібно до задання групи.

Означення

Універсальна властивість

Вільною алгеброю Лі $FL(X)$ породженою множиною $X$ називається алгебра Лі, що задовольняє універсальну властивість:

Існує вкладення

X\rightarrow FL(X)

і якщо

\theta :X\rightarrow L

є вкладенням множини

X

у довільну алгебру Лі

L,

то існує єдиний гомоморфізм алгебр Лі

\varphi :FL(X)\rightarrow L

, для якого

\varphi \circ i=\theta

.^[1]

Із універсальної властивості випливає ізоморфізм усіх вільних алгебр Лі породжених множиною $X.$ Прямі побудови подані нижче показують існування вільних алгебр Лі.

Пряма побудова

Нехай $K$ позначає довільне поле. Для множини $X\not =\emptyset$ позначимо $A(X)$ вільну асоціативну K-алгебру породжену множиною $X$ і $i:X\rightarrow A(X)$ — відображення вкладення. На цій алгебрі можна ввести комутатор

[a,b]:=a\cdot b-b\cdot a,\quad a,b\in A(X)

і з цією операцією $A(X)$ є алгеброю Лі. Визначимо

FL(X):=\bigcap \{L|L\subset A(X),\;i(X)\subset L\}

де перетин береться по всіх підалгебрах Лі у $A(X),$ що містять $i(X).$ .

$FL(X)$ є вільною алгеброю Лі породженою множиною $X$ .^[2]

Згідно з побудовою $i(X)\subset FL(X)$ і $i$ можна розглядати як вкладення $X\rightarrow FL(X).$

Альтернативна побудова Бурбакі

Бурбакі подав альтернативну конструкцію вільної алгебри Лі. Для непорожньої множини $X$ і $M(X)$ — то вільна магма на $X$ і $\mathrm {Lib} (X)$ — асоціативна алгебра із базисом $M(X)$ із продовженням множення по лінійності. В ньому розглядається ідеал $I\subset \mathrm {Lib} (X)$ , породжений усіма елементами виду

a\cdot a,\quad a\in \mathrm {Lib} (X)

a\cdot (b\cdot c)+b\cdot (c\cdot a)+c\cdot (a\cdot b),\quad a,b,c\in \mathrm {Lib} (X).

Тоді $\mathrm {Lib} (X)/I$ є вільною алгеброю породженою множиною $X$ .

Приклади і властивості

Якщо $X=\{x\}$ є одноелементною множиною, то $A(\{x\})$ є алгебрі многочленів від однієї змінної $x$ . З введеним вище комутатором $A(\{x\})$ є комутативною алгеброю Лі. За означенням $FL(\{x\})$ є найменшою підалгеброю Лі, що містить $i(x)$ і такою очевидно є $K\cdot i(x)$ . Тому $FL(\{x\})\cong K$ тривіальній одновимірній алгебрі Лі.

Універсальна обгортуюча алгебра алгебри $FL(X)$ є рівною ${\mathcal {U}}(FL(X))\cong A(X)$ .^[3]

Породжуючі елементи і співвідношення

Нехай $X$ непорожня множина. Мономом Лі називається скінченна послідовність дужок Лі з елементів $X$ . Прикладом моному Лі може бути

[[[x_{1},x_{2}],x_{1}],[x_{1},x_{3}]],\quad x_{1},x_{2},x_{3}\in X

,

Словом Лі називається скінченна лінійна комбінація мономів Лі. Наприклад

7\cdot [[[x_{1},x_{2}],x_{1}],[x_{1},x_{3}]]-[[[[x_{1},x_{1}],x_{1}],x_{1}],x_{2}],\quad x_{1},x_{2},x_{3}\in X

.

Для множини $R$ слів Лі у множині $X$ позначимо $\langle R\rangle \subset FL(X)$ найменший ідеал, що містить множину $R\subset FL(X)$ . Тоді факторалгебра Лі

L(X;R):=FL(X)/\langle R\rangle

є заданою породжуючою множиною $X$ і співвідношеннями $R$ .

Приклади

$L(X;\emptyset )=FL(X)$ , оскільки ідеалом у цьому випадку є $\{0\}$ .

Нехай елементами $R$ є всі вирази виду $[x_{1},x_{2}],\,x_{1},x_{2}\in X$ . Тоді $L(X;R)$ є комутативною алгеброю для якої елементи $X$ утворюють базис векторного простору.

Нехай маємо множину $X=\{e_{1},\ldots ,e_{n},h_{1},\ldots ,h_{n},f_{1},\ldots ,f_{n}\}$ і $A_{i,j}$ деякі цілі константи, менші або рівні 0 для різних індексів.

Нехай

R

породжена елементами

[h_{i},h_{j}]

[h_{i},e_{j}]-A_{i,j}e_{j}

[h_{i},f_{j}]+A_{i,j}f_{j}

[e_{i},f_{i}]-h_{i}

[e_{i},f_{j}]

для

i\not =j

[e_{i},[e_{i}[\ldots [e_{i},e_{j}]]]

для

i\not =j

і

1-A_{i,j}

входжень елементів

e_{i}

[f_{i},[f_{i}[\ldots [f_{i},f_{j}]]]

для

i\not =j

і

1-A_{i,j}

входжень елементів

f_{i}

Дані співвідношення називаються співвідношеннями Серра. Якщо

A_{i,j}

є коефіцієнтами матриці Картана то

L(X;R)

є скінченновимірною напівпростою алгеброю Лі з даною матрицею Картана. Ці співвідношення таким чином використовуються для доведення існування напівпростих алгебр Лі для будь-якої системи коренів.^[4]. Для більш загального типу матриць ці ж співвідношення використовуються для означення алгебр Каца — Муді.

Примітки

↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Теорема 9.9
↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Розділ 9.3: Free Lie algebras
↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Теорема 9.10
↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Beispiel 9.12

Див. також

Література

Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976.
Carter, R. (2005), Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge University Press, ISBN 0-521-85138-6
Lothaire, M. (1997), Combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, т. 17 (вид. 2nd), Cambridge University Press, с. 76—91, 98, ISBN 0-521-59924-5, Zbl 0874.20040
Reutenauer, Christophe (1993), Free Lie algebras, London Mathematical Society Monographs. New Series, т. 7, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853679-6, MR 1231799

[1] Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Теорема 9.9

[2] Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Розділ 9.3: Free Lie algebras

[3] Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Теорема 9.10

[4] Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Beispiel 9.12

[1]

[2]

[3]

[4]