Алгебра Каца — Муді

Алгебрами Каца — Муді називаються загалом нескінченновимірні алгебри Лі, що є узагальненнями напівпростих скінченновимірних алгебр Лі. Як і напівпрості скінченновимірні алгебри Лі, алгебри Каца — Муді можна задати за допомогою співвідношень Серра, лише замість матриці Картана коефіцієнти у цих співвідношеннях є елементами деякої більш загальної матриці. Напівпрості алгебри Лі є єдиними прикладами скінченновимірних алгебр Каца — Муді.

У цій статті всюди де не вказано інше усі об'єкти розглядаються над алгебрично замкнутим полем K характеристика якого є рівною 0.

Побудова

Узагальнені матриці Картана

Матриця $A=(A_{i,j})$ розмірності $n\times n$ називається узагальненою матрицею Картана, якщо

• Коефіцієнти матриці $A_{i,j}\in \mathbb {Z}$ для всіх $i,j=1,\ldots ,n$
• $A_{i,i}=2$ для всіх $i=1,\ldots ,n$
• $A_{i,j}\leq 0$ для всіх $i,j=1,\ldots ,n,\,i\not =j$
• $A_{i,j}=0$ тоді і тільки тоді, коли $A_{j,i}=0$ для всіх $i,j=1,\ldots ,n$.

Матриця Картана системи коренів напівпростої алгебри Лі задовольняє всі ці властивості і вона є частковим прикладом узагальненої матриці Картана.

Дві узагальнені $n\times n$-матриці Картана $A=(A_{i,j})$ і $A'=(A'_{i,j})$ називаються еквівалентними, якщо існує перестановка $\sigma$ елементів $\{1,\ldots ,n\}$ при якій $A'_{i,j}=A_{\sigma (i),\sigma (j)}.$

Узагальнена матриця Картана називається розкладною, якщо вона є еквівалентною матриці виду

${\begin{pmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{pmatrix}}$

для деяких матриць $A_{1}$ і $A_{2}$ (які теж будуть узагальненими матрицями Картана). В іншому випадку матриця називається нерозкладною.

Реалізація матриці

Для узагальненої матриці $A=(A_{i,j})$ розмірності $n\times n$ введемо

• Скінченновимірний $K$-векторний простір $H$
• Лінійно незалежні вектори $\Pi ^{\vee }=\{h_{1},\ldots ,h_{n}\}\subset H$,
• Лінійно незалежні елементи спряженого простору $\Pi =\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}\subset H^{*}$, для яких $A_{i,j}=\alpha _{j}(h_{i})$ для всіх $i,j=1,\ldots ,n.$

Тоді $(H,\Pi ^{\vee },\Pi )$ називається реалізацією матриці $A$. Найменша можлива розмірність простору $H$ є рівною $2n-\mathrm {rang} (A),$ де $\mathrm {rang} (A)$ позначає ранг матриці. До того ж дві такі реалізації $(H_{1},\Pi _{1}^{\vee },\Pi _{1})$ і $(H_{2},\Pi _{2}^{\vee },\Pi _{2})$ мінімальної розмірності є ізоморфними, тобто існує лінійне відображення $\varphi :H_{1}\rightarrow H_{2},$ що переводить $\Pi _{1}^{\vee }$ у $\Pi _{2}^{\vee }$ і спряжене відображення переводить $\Pi _{2}$ у $\Pi _{1}.$ Тобто існує єдиний клас ізоморфізму мінімальних реалізацій.

Задання алгебр Лі

Нехай $A=(A_{i,j})$ — узагальнена матриця Картана розмірності $n\times n$ і $(H,\Pi ^{\vee }=\{h_{1},\ldots ,h_{n}\},\Pi =\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\})$ — її мінімальна реалізація. На основі цієї мінімальної реалізації можна побудувати вільну алгебру Лі породжену множиною

$X=\{e_{1},\ldots ,e_{n},f_{1},\ldots ,f_{n}\}\cup \{{\tilde {x}}\mid x\in H\}$.

На цій алгебрі можна розглянути множину співвідношень

• ${\tilde {x}}-\lambda {\tilde {y}}-\mu {\tilde {z}}$   для всіх $x,y,z\in H,\,\lambda ,\mu \in \mathbb {C}$   mit $x=\lambda x+\mu z$
• $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}]$   для всіх   $x,y\in H$
• $[e_{i}f_{i}]-{\tilde {h_{i}}}$   для всіх   $i=1,\ldots ,n$
• $[e_{i}f_{j}]$   для всіх   $i,j=1,\ldots ,n,\,i\not =j$
• $[{\tilde {x}}e_{i}]-\alpha _{i}(x)$   для всіх   $i=1,\ldots ,n,\,x\in H$
• $[{\tilde {x}}f_{i}]+\alpha _{i}(x)$   для всіх   $i=1,\ldots ,n,\,x\in H$

Нехай ця множина позначається $R.$ і ${\tilde {L}}(A):=L(X;R)$— алгебра Лі задана породжуючими елементами із множини $X$ і множиною співвідношень $R.$ При цьому відображення $H\mapsto {\tilde {H}}:=\{{\tilde {x}}\mid x\in H\},\,x\mapsto {\tilde {x}}$ задає ізоморфізм алгебр Лі.

Означення алгебр Каца — Муді

Для узагальненої матриці Картана $A=(A_{i,j})$ із побудованими вище алгебрами ${\tilde {L}}(A)$ і ${\tilde {H}}$ нехай I — єдиний максимальний ідеал для якого $I\cap {\tilde {H}}=\{0\}.$ Тоді алгебра Лі

$L(A):={\tilde {L}}(A)/I$

називається алгеброю Каца — Муді для матриці $A$.

Клас ізоморфізмів алгебри Лі $L(A)$ залежить лише від класу еквівалентності узагальнених матриць Картана. Якщо $A$ є звичайною матрицею Картана, то алгебра Каца — Муді матриці $A$ є ізоморфною скінченновимірній напівпростій алгебрі Лі.

Узагальнена матриця Картана A називається симетризовною якщо існують такі невироджена діагональна матриця D (яку можна обрати так щоб всі її діагональні елементи були додатними) і симетрична матриця S (яку можна обрати так щоб всі її елементи були раціональними числами) такі, що A = DS.

У випадку алгебр Каца — Муді для симетризовних матриць $A=(A_{i,j})$ означення можна дати за допомогою множини $X=\{e_{1},\ldots ,e_{n},h_{1},\ldots ,h_{n},f_{1},\ldots ,f_{n}\}$ породжуючих елементів і співвідношень

$[h_{i},h_{j}]$

$[h_{i},e_{j}]-A_{i,j}e_{j}$

$[h_{i},f_{j}]+A_{i,j}f_{j}$

$[e_{i},f_{i}]-h_{i}$

$[e_{i},f_{j}]$   для   $i\not =j$

$[e_{i},[e_{i}[\ldots [e_{i},e_{j}]]]$   для $i\not =j$ і $1-A_{i,j}$ входжень елементів $e_{i}$

$[f_{i},[f_{i}[\ldots [f_{i},f_{j}]]]$   для $i\not =j$ і $1-A_{i,j}$ входжень елементів $f_{i}$

У випадку симетризовних матриць Картана ці два означення є еквівалентними. Зокрема два останні типи елементів породжуєть максимальний ідеал I. Іноді друге означення також використовується і у загальному випадку.

Три типи алгебр Каца — Муді

Алгебри Каца - Муді поділяються на три типи залежно від властивостей їх узагальнених матриць Картана:

• Алгебра називається алгеброю скінченного типу, якщо її матриця Картана є додатноозначеною.
• Алгебра називається алгеброю афінного типу, якщо її матриця Картана є напівдодатноозначеною корангу 1, тобто її визначник дорівнює 0 але всі власні головні мінори не є нульовими.
• Алгебра називається алгеброю невизначеного типу, якщо її узагальнена матриця Картана не задовольняє вказані властивості.

Можна надати еквівалентні характеристики:

• $A$ є матрицею алгебри скінченного типу, якщо існує $u\in \mathbb {R} ^{n}$ для якого $u>0$ і $Au>0$
• $A$ є матрицею алгебри афінного типу, якщо існує $u\in \mathbb {R} ^{n}$ для якого $u>0$ і $Au=0$
• $A$ є матрицею алгебри невизначеного типу, якщо існує $u\in \mathbb {R} ^{n}$ для якого $u>0$ і $Au<0$

Діаграми Динкіна

Так само, як і в теорії скінченновимірних напівпростих алгебр Лі, для кожної узагальненої $n\times n$-матриці Картана $A=(A_{i,j})$ можна побудувати узагальнення діаграми Динкіна, згідно таких правил:

• Вершини графу позначаються $1,\ldots ,n$ і відповідають рядкам і стовпцям матриці.
• Якщо $A_{i,j}A_{j,i}=0$, то вершини $i$ і $j$ не сполучаються ребрами.
• Якщо $A_{i,j}A_{j,i}=1$, то вершини $i$ і $j$ сполучаються одним ребром.
• Якщо $A_{i,j}A_{j,i}=2$, то вершини $i$ і $j$ сполучаються двома ребрами. На них додається стрілка > у напрямку вершини $i$, якщо $A_{i,j}=-2$ і $A_{j,i}=-1$.
• Якщо $A_{i,j}A_{j,i}=3$, то вершини $i$ і $j$ сполучаються трьома ребрами. На них додається стрілка > у напрямку вершини $i$, якщо $A_{i,j}=-3$ і $A_{j,i}=-1$.
• Якщо $A_{i,j}A_{j,i}=4$ і $|A_{i,j}|\not =|A_{j,i}|$, то вершини $i$ і $j$ сполучаються трьома ребрами. На них додається стрілка > у напрямку вершини $i$, якщо $A_{i,j}=-4$ і $A_{j,i}=-1$.
• Якщо $A_{i,j}A_{j,i}=4$ і $A_{i,j}=A_{j,i}=-2$, то вершини $i$ і $j$ сполучаються двома ребрами. На них додаються дві стрілки, > і <, як на малюнку.
• Якщо $A_{i,j}A_{j,i}\geq 5$, то вершини $i$ і $j$ сполучаються ребром із записом чисел $|A_{i,j}|$ і $|A_{j,i}|$ на ньому.

Узагальнену матрицю Картана завжди можна відновити за допомогою діаграми Динкіна. Матриця буде нерозкладною тоді і тільки тоді коли відповідних граф буде зв'язним.

Корені і кореневий розклад алгебр Каца — Муді

${\tilde {H}}$ є аналогом підалгебри Картана для $L(A)$.

Якщо $x\neq 0$ є елементом $L(A)$ для якого

$\forall h\in {\tilde {H}},[h,x]=\lambda (h)x$

для деякого $\lambda \in {\tilde {H}}^{*}\backslash \{0\}$, то $x$ називається кореневим вектором і $\lambda$ коренем алгебри $L(A)$. (За означенням нульовий функціонал не вважається коренем.) Множина всіх коренів $L(A)$ позначається $\Delta$ або $R$. Для даного кореня $\lambda$ one denotes by $L(A)_{\lambda }$ позначає кореневий простір кореня $\lambda$, тобто

$L(A)_{\lambda }=\{x\in L(A):\forall h\in {\tilde {H}},[h,x]=\lambda (h)x\}$.

Із системи співвідношень для $L(A)$ випливає, що $e_{i}\in L(A)_{\alpha _{i}}$ і $f_{i}\in L(A)_{-\alpha _{i}}$. Також якщо $x_{1}\in L(A)_{\lambda _{1}}$ і $x_{2}\in L(A)_{\lambda _{2}}$, то $[x_{1},x_{2}]\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}+\lambda _{2}}$.

Для алгебри Каца — Муді існує кореневий розклад у пряму суму ${\tilde {H}}$ і кореневих просторів, тобто:

$L(A)={\tilde {H}}\oplus \bigoplus _{\lambda \in \Delta }L(A)_{\lambda }$,

і кожен корінь $\lambda$ можна записати як суму $\lambda =\sum _{i=1}^{n}z_{i}\alpha _{i}$ де всі $z_{i}$ є цілими числами із однаковим знаком.

Для фундаментальних коренів $\alpha _{i}$ розмірності їх кореневих просторів є рівними 1. Це ж справедливо і для коренів одержаних із фундаментальних дією (узагальненої) групи Вейля (для напівпростих алгебр Лі всі корені задовольняють цю властивість). Для цих коренів (вони називаються дійсними) єдиними коренями на прямій $\mathbb {R} \lambda$ є $\lambda$ і $-\lambda .$ Натомість для інших коренів (вони називаються уявними) усі $\mathbb {Z} \lambda \setminus 0$ є коренями.

Для симетризовних узагальнених матриць Картана існує білінійна форма на $L(A),$ що є узагальненням форми Кіллінга і її обмеження на ${\tilde {H}}$ є невиродженою формою. Її стандартно можна перенести також на двоїстий простір. Тоді корінь $\lambda$ буде дійсним тоді і тільки тоді коли $(\lambda ,\lambda )>0$ в іншому випадку він буде уявним.

• Для алгебр скінченного типу (тобто напівпростих алгебр Лі) усі корені є дійсними.
• Для алгебр афінного типу існує $u\in \mathbb {R} ^{n}$ для якого $u>0$ і $Au=0.$ Ці вектори визначені з точністю до множення на додатний скаляр, зокрема існує єдиний такий вектор $u=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ елементами якого є цілі взаємно прості числа. Якщо позначити $\delta =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\alpha _{1}$ то усі уявні корені $Au$ мають вигляд $k\delta ,k\in \mathbb {Z} \setminus 0.$

Див. також

• Вільна алгебра Лі
• Матриця Картана
• Напівпроста алгебра Лі

Література

• Carter, R. (2005), Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge University Press, ISBN 0-521-85138-6
• Kac, Victor G (1990). Infinite-Dimensional Lie Algebras. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46693-8.
• Kumar, Shrawan (2002). Kac–Moody Groups, their Flag Varieties and Representation Theory. Birkhauser. ISBN 3-7643-4227-7.