Матриця Картана

Матрицями Картана називаються матриці, що мають широке застосування у теорії алгебр Лі зокрема у класифікації напівпростих алгебр Лі.

Матриця Картана алгебри Лі

Нехай $L$ скінченновимірна напівпроста алгебра Лі над алгебрично замкнутим полем характеристики 0, $H$ її підалгебра Картана. Для $x\in L$ використовується стандартне позначення приєднаного представлення

\mathrm {ad} \,x:L\rightarrow L,\quad y\mapsto [x,y]

.

Симетрична, невироджена білінійна форма $\langle x,y\rangle :=\mathrm {Tr} ((\mathrm {ad} \,x)(\mathrm {ad} \,y))$ називається формою Кіллінга. Її обмеження на підалгебру Картана $H$ є додатноозначеною білінійною формою. Можна ввести лінійний функціонал $\alpha \in H^{*}$ як

\alpha _{x}:H\rightarrow \mathbb {F} ,\,y\mapsto \langle x,y\rangle

для елемента $x\in H$ . Звідси одержується ізоморфізм векторних просторів $\iota :H\rightarrow H^{*},x\mapsto \alpha _{x}$ і скалярний добуток на $H^{*}$ , визначений як $\langle \alpha ,\beta \rangle :=\langle \iota ^{-1}(\alpha ),\iota ^{-1}(\beta )\rangle$ .

Існує однозначно визначена скінченна множина $\Phi \subset H^{*}\setminus \{0\}$ лінійних функціоналів $\alpha :H\rightarrow \mathbb {F}$ таких що

L=H\oplus \sum _{\alpha \in \Phi }L_{\alpha }

де

L_{\alpha }:=\{x\in L|\,\forall h\in H:\,\exists n\in \mathbb {N} :\,(\mathrm {ad} \,h-\alpha (h)\mathrm {id} _{H})^{n}x=0\}

і $L_{\alpha }$ є підпросторами розмірності 1. Елементи множини $\Phi$ називаються коренями. Існують підмножини $\Phi _{0}\subset \Phi$ такі, що всі корені $\alpha \in \Phi$ є лінійними комбінаціями елементів із $\Phi _{0}$ із цілими коефіцієнтами і до того ж для кожного кореня або всі коефіцієнти у лінійній комбінації є додатними або всі відємними. Множина $\Phi _{0}=\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{l}\}$ називається множиною простих або фундаментальних коренів і її елементи утворюють базис простору двоїстого до підалгебри Картана $H$ .

Матриця Картана алгебри Лі за означенням є матрицею із коефіцієнтами $A_{i,j}:=2{\frac {\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle }{\langle \alpha _{i},\alpha _{i}\rangle }},\quad i,j=1,\ldots l$ .^[1]

Дві матриці Картана називаються еквівалентними, якщо одна одержується з іншої перестановкою фундаментальних коренів. Клас еквівалентності матриці Картана напівпростої алгебри Лі не залежить від вибору підалгебри Картана чи вибору підмножини $\Phi _{0}\subset \Phi$ фундаментальних коренів.

Приклади

$(2)$ є єдиною матрицею Картана розмірності $1\times 1$ .
${\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}}$ є матрицею Картана двовимірної спеціальної лінійної алгебра Лі.

Інші приклади є у розділі класифікації матриць Картана напівпростих Алгебр Лі.

Властивості

Нехай $A=(A_{i,j})_{i,j}$ матриця Картана напівпростої алгебри Лі. Тоді:

$A_{i,i}=2$ для всіх $i$ .
$A_{i,j}=0$ тоді і тільки тоді, коли $A_{j,i}=0$
$A_{i,j}\in \{0,-1,-2,-3\}$ для всіх $i\not =j$
Якщо $A_{i,j}\in \{-2,-3\}$ то $A_{j,i}=-1$

$A$ є невиродженою і обернена матриця має невід'ємні раціональні коефіцієнти.^[2]
Існують діагональна матриця $D$ і симетрична матриця $B$ для яких $A=DB$ .

Нерозкладні матриці Картана

Якщо матриця Картана алгебри Лі $L$ є еквівалентною матриці виду

{\begin{pmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{pmatrix}}

для деяких матриць $A_{1}$ і $A_{2}$ меншої розмірності, то матриця Картана називається розкладною. Матриці $A_{1}$ і $A_{2}$ є матрицями Картана і алгебра Лі $L$ є прямою сумою ідеалів $L=L_{1}\oplus L_{2}$ де $A_{i}$ є матрицею Картана $L_{i}$ .

Нерозкладні матриці Картана відповідають простим алгебрам Лі. Більш точно скінченновимірні прості алгебри Лі мають еквівалентні нерозкладні матриці Картана і вони відповідають ізоморфним простим алгебрам Лі.

Класифікація нерозкладних матриць Картана

Для нерозкладних матриць Картана над алгебрично замкнутим полем характеристики 0 відома вичерпна класифікація із якої одержується також класифікація скінченновимірних простих алгебр Лі над такими ж полями.^[3]

Класифікація розбиває всі такі матриці на 4 послідовності A_n, B_n, C_n, D_n, і пять окремих матриць:

A_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&\\&&&&&-1&2&-1&\\&&&&&&-1&2&-1\\&&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 1

B_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&\\&&&&&-1&2&-1&\\&&&&&&-1&2&-1\\&&&&&&&-2&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 2

C_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&\\&&&&&-1&2&-1&\\&&&&&&-1&2&-2\\&&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 3

D_{n}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&&\\&&-1&\cdot &\cdot &&&&&\\&&&\cdot &\cdot &\cdot &&&&\\&&&&\cdot &\cdot &-1&&&\\&&&&&-1&2&-1&&\\&&&&&&-1&2&-1&-1\\&&&&&&&-1&2&\\&&&&&&&-1&&2\end{pmatrix}}\quad \quad n\geq 4

E_{6}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&\\-1&2&-1&&&\\&-1&2&-1&-1&\\&&-1&2&&\\&&-1&&2&-1\\&&&&-1&2\end{pmatrix}}

E_{7}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&\\-1&2&-1&&&&\\&-1&2&-1&&&\\&&-1&2&-1&-1&\\&&&-1&2&&\\&&&-1&&2&-1\\&&&&&-1&2\end{pmatrix}}

E_{8}={\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&\\&-1&2&-1&&&&\\&&-1&2&-1&&&\\&&&-1&2&-1&-1&\\&&&&-1&2&&\\&&&&-1&&2&-1\\&&&&&&-1&2\end{pmatrix}}

F_{4}={\begin{pmatrix}2&-1&&\\-1&2&-1&\\&-2&2&-1\\&&-1&2\end{pmatrix}}

G_{2}={\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}}

Визначники відповідних матриць Картана наведені у таблиці:

$A_{n}$	$B_{n}$ , $n\geq 2$	$C_{n}$ , $n\geq 2$	$D_{n}$ , $n\geq 4$	$E_{n}$ , $n\geq 5$	$F_{4}$	$G_{2}$
n+1	2	2	4	9-n	1	1

Теорема про існування

Для кожної матриці Картана $A=(A_{i,j})_{i,j}$ із наведеного вище списку існує єдина (з точністю до ізоморфізму) скінченновимірна проста алгебра Лі. Це твердження часто називається теоремою про існування. Її можна отримати із вільної алгебри Лі із генераторами $\{e_{1},\ldots ,e_{n},h_{1},\ldots ,h_{n},f_{1},\ldots ,f_{n}\}$ із додаванням співвідношень:

[h_{i},h_{j}]

[h_{i},e_{j}]-A_{i,j}e_{j}

[h_{i},f_{j}]+A_{i,j}f_{j}

[e_{i},f_{i}]-h_{i}

[e_{i},f_{j}]

для

i\not =j

[e_{i},[e_{i}[\ldots [e_{i},e_{j}]]]]

для

i\not =j

і для

1-A_{i,j}

входжень елемента

e_{i}

у формулі

[f_{i},[f_{i}[\ldots [f_{i},f_{j}]]]]

для

i\not =j

і для

1-A_{i,j}

входжень елемента

f_{i}

у формулі.

Дані співвідношення називаються співвідношеннями Серра. Для кожного класу еквівалентності нерозкладних матриць Картана побудована за такими співвідношеннями алгебра Лі буде скінченновимірною простою і вихідна матриця буде її матрицею Картана.^[4]

Для загальної матриці Картана внаслідок такої побудови одержується напівпроста алгебра Лі.

Більш загально якщо матриця (яку теж часто називають матрицею Картана) задовольняє лише перші дві властивості зі списку, а замість двох наступних вимагається лише те, що всі недіагональні елементи є недодатними цілими числами, то для неї теж можна побудувати алгебру Лі за тою ж схемою із породжуючими елементами і співвідношеннями. Одержана внаслідок такої побудови алгебра Лі буде скінченновимірною тоді і лише тоді, коли вихідна матриця є матрицею Картана напівпростої алгебри Лі.

Зв'язок із діаграмами Динкіна

зв'язані діаграми Динкіна

Матриці Картана можна класифікувати за допомогою діаграм Динкіна. Для будь-якої матриці Картана $A=(A_{i,j})_{i,j}$ розмірності $n$ будується граф із $n$ вершинами $\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}.$ Дві вершини $x_{i}$ і $x_{j}$ сполучаються $A_{i,j}A_{j,i}$ ребрами. Якщо $x_{i}$ і $x_{j}$ пов'язуються більш ніж одним ребром, то додатково малюється стрілка > у напрямку вершини $x_{j}$ для якої $|A_{j,i}|>|A_{i,j}|$ .^[5]

З діаграми Дінкіна можна однозначно відновити матрицю Картана. На малюнку зображені всі зв'язані діаграми Динкіна для нерозкладних матриць Картана $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$ .

Примітки

↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Розділ 6.1: The Cartan matrix
↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Теорема 10.18
↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Розділ 6.4: Classification of Cartan matrices
↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Розділ 7.5: The existence theorem
↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Розділ 6.4: Classification Cartan matrices

Див. також

[1] Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Розділ 6.1: The Cartan matrix

[2] Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Теорема 10.18

[3] Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Розділ 6.4: Classification of Cartan matrices

[4] Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Розділ 7.5: The existence theorem

[5] Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Розділ 6.4: Classification Cartan matrices

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]