Ця стаття описує систему коренів у математиці, для опису кореневої системи рослин дивіться — корінь.

У математиці система коренів (коренева система) — це конфігурація векторів в евклідовому просторі, що задовольняє певним геометричним властивостям. Ця концепція є фундаментальною в теорії груп Лі. З тих пір як групи Лі (і деякі інші аналоги, такі як алгебричні групи) протягом двадцятого століття з'явилися в багатьох розділах математики. Більш того, класифікація систем коренів за схемами Динкіна​​ зустрічається в розділах математики, не пов'язаних явно з групами Лі (наприклад, в теорії сингулярностей).

ОзначенняРедагувати

Нехай   — скінченновимірний евклідів простір із звичайним скалярним добутком, позначеним як  . Система корнів у   — це скінченна множина   ненульових векторів (званих корнями), що задовільняють наступним властивостям.

 
Цілістна умова для   змушує   лежати на одній з вертикальних прямих. Комбінація цієї умови з цілістною умовою для   зводить можливі кути між   и   не більш ніж до двох, для кожної з вертикальних прямих.
  1.   є лінійною оболонкою системи коренів.
  2. Якщо два кореня  ,   є колінеарними векторами, то або вони збігаються, або  .
  3. Для кожного кореня   множина   замкнута відносно віддзеркалення в гіперплощині, що перпендикулярна  . Тобто для будь-яких двох коренів   і  , множина   містить віддзеркалення  
     
  4. (Умова цілісності) Якщо   і   є коренями у  , тоді проекція   на пряму, що проходить через  , є напівцілим добутком  . Тобто
     

Беручи до уваги властивість 3, умова цілісності еквівалентна твердженню, що різниця між   та його відображенням   дорівнює корню  , помноженому на ціле число. Слід зазначити, що оператор

 ,

визначений властивістю 4, не є скалярним добутком. Він не симетричний і лінійний лише за першим аргументом.

Класифікація систем коренів за схемою ДинкінаРедагувати

 

Приклади системи коренів рангу 1 і рангу 2Редагувати

Існує тільки одна система коренів рангу 1, вона складається з двох ненульових векторів  . Ця система називається  .

У ранзі 2 існують чотири можливі варіанти  , де  .

   
Система коренів   Система коренів  
   
Система коренів   Система коренів  
Система коренів рангу 2

ПосиланняРедагувати

  • Дынкин Е. Б. Структура полупростых алгебр Ли // Успехи математических наук. — 1947. — Т. 2, вип. 4(20). — С. 59–127.
  • Дынкин Е. Б. Классификация простых групп Ли // Математический сборник. — 1946. — Т. 18(60), вип. 3. — С. 347–352.
  • Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с.
  • Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам — М.: УРСС, 1995. — 344 с.
  • Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы / Пер. с англ./Под ред. В. П. Платонова. — М.: Наука, 1980. — 400 с.
  • Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (часть 2) / Пер. с франц./Под ред. А. И. Кострикина. — М.: Мир, 1972. — 332 с.