Представлення алгебри Лі

Представленням алгебри Лі (точніше, лінійним представленням алгебри Лі) називається гомоморфізм із алгебри Лі $L$ у повну лінійну алгебру перетворень деякого векторного простору $V$

$\varphi \colon L\to {\mathfrak {gl}}(V)$.

Під гомоморфизмом алгебр Лі йдеться про таке відображення, що $\varphi ([x,y])=[\varphi (x),\varphi (y)]$ для будь-яких $x,y\in L$. При цьому алгебра Лі $L$ і векторний простір $V$ мають бути над одним і тим же полем $K$.

Приклади представлень алгебр Лі

Важливим прикладом представлення є приєднане представлення алгебри Лі $\mathrm {ad} \colon L\to {\mathfrak {gl}}(L)$. Це представлення зіставляє елементу $x\in L$ оператор $\mathrm {ad} \;x$, що діє на елементи з $L$ за правилом $\mathrm {ad} \;x(y)=[x,y]$.

Див. також

Представлення групи

Джерела

• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений = Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. — М. : МЦНМО, 2003. — 216 с.