Редуктивна алгебра Лі

В математиці, алгебра Лі називається редуктивною, якщо її приєднане представлення є цілком звідним. Еквівалентною умовою є те, що алгебра Лі є прямою сумою напівпростої і абелевої алгебр Лі: інші еквівалентні умови подані нижче.

ОзначенняРедагувати

Алгебра Лі   над полем характеристики 0 називається редуктивною, якщо виконуються еквівалентні умови:

  1. Приєднане представлення алгебри   є прямою сумою незвідних представлень.
  2.   допускає точне, цілком звідне, скінченновимірне лінійне представлення.
  3. Радикал алгебри Лі   рівний її центру:  
    Для загальної алгебри Лі її радикал містить центр але може не бути рівним йому.
  4.   є прямою сумою напівпростого ідеалу   і її центру    
  5.   є прямою сумою напівпростої алгебри Лі   і абелевої алгебри Лі  :  
  6.   є прямою сумою простих ідеалів:  

ПрикладиРедагувати

  • Одним із найпростіших і найважливіших прикладів є алгебра Лі   матриць розмірності   із звичайним комутатором матриць. Вона є редуктивною, оскільки є сумою скалярних матриць і матриць, слід яких рівний нулю.
  • За означенням будь-яка напівпроста алгебра Лі і абелева алгебра Лі є редуктивними.
  • Над полем дійсних чисел, компактні алгебри Лі є редуктивними.

ВластивостіРедагувати

  • Властивість редуктивності зберігається як при розширенні, так і при звуженні поля, над яким визначена алгебра Лі.
  • Для алгебрично замкнутого поля редуктивна алгебра Лі є ізоморфною алгебрі Лі деякої редуктивної алгебричної групи.
  • Перетином редуктивних алгебр Лі і розв'язних алгебр Лі є абелеві алгебри Лі.

Див. такожРедагувати

External linksРедагувати