Нільпотентна алгебра Лі

В математиці, алгебра Лі називається нільпотентною якщо її нижній центральний ряд зрештою стає рівним нулю. Він є Лі алгебраїчним аналогом нільпотентних груп.

Означення

ред.

Нехай  алгебра Лі. Тоді   називається нільпотентною якщо нижній центральний ряд рівний нулю починаючи з деякого члена, тобто якщо   для деякого n ∈ ℕ.

А саме

 
 
тож adX1adX2 ⋅⋅⋅ adXn = 0.

Еквівалентні означення

ред.

Наслідком означення (1) є те, що

 

Тому (adX)n = 0 для всіх  . Тобто, adX є нільпотентним ендоморфізмом. Такий елемент x в   називається ad-нільпотентним.

Навпаки, якщо   є скінченновимірною, умова (2) є еквівалентною умові (1), згідно теореми Енгеля

Алгебра Лі   є нільпотентною тоді і тільки тоді коли   є ad-нільпотентною.

Іншою еквівалентною умовою нільпотентності   є:   є нільпотентною тоді і тільки тоді коли   є нільпотентною алгеброю Лі. Це випливає з того що на основі (1)   є нільпотентною, оскільки (n − 1) вкладені дужки Лі будуть мати форму, як в (1). Навпаки[1]

  і оскільки ad є гомоморфізмом алгебр Лі,
 

Якщо   є нільпотентною, останній вираз рівний 0 для достатньо великих n, і відповідно це ж справедливо і для першого виразу. Але звідси отримується (1), тож алгебра   є нільпотентною.

Приклади

ред.
  • Нехай   є скінченновимірним векторним простором над полем   і  прапор векторних підпросторів. Підалгебра   алгебри   є нільпотентною алгеброю Лі. Якщо на просторі   ввести базис, що узгоджується з   то елементи алгебри   визначаються верхніми трикутними матрицями з нулями на головній діагоналі. Якщо прапор є повним то відповідною алгеброю буде алгебра всіх верхніх трикутних матриць над полем   розмірності n, що позначається   Довільна скінченновимірна нільпотентна алгебра Лі є ізоморфною підалгебрі   для деякого n.
  •   з точністю до ізоморфізмів є єдиною неабелевою нільпотентною алгеброю Лі розмірності 3.
  • Якщо алгебра Лі   має автоморфізм простого періоду без нерухомих точок за винятком 0, тоді   є нільпотентною.
  • Алгебра Гейзенберга є нільпотентною.

Властивості

ред.
  • Кожна нільпотентна алгебра є розв'язною. Ця властивість є корисною для доведення розв'язності оскільки перевірка нільпотентності зазвичай є простішою. Обернене твердження загалом не є правильним. Наприклад алгебра   (k ≥ 2), що складається з верхніх трикутних матриць є розв'язною але не нільпотентною.
  • Якщо алгебра Лі   є нільпотентною то її підалгебри, гомоморфні образи, факторалгебри, центральні розширення і скінченні прямі суми є нільпотентними.
  • Якщо факторалгебра  , де   є центром  , є нільпотентною, то нільпотентною є і алгебра  .
  • Теорема Енгеля: Алгебра Лі   є нільпотентною тоді і тільки тоді коли для всі елементи алгебри   є ad-нільпотентними. Більш загально для довільного скінченновимірного представлення   нільпотентної алгебри Лі   для якого   є нільпотентним для всіх   існує такий повний прапор, що  
  • Узагальненням попередньої властивості є теорема Цасенгауза, згідно якої для довільного скінченновимірного представлення   у векторному просторі над алгебраїчно замкнутим полем нільпотентної алгебри Лі   простір   на якому визначене представлення розкладається на пряму суму підпросторів обмеження   на кожному з яких є сумою скалярного і нільпотентного лінійних операторів.
  • Форма Кіллінга нільпотентної алгебри Лі рівна 0. Більш загально для довільної скінченновимірної алгебри Лі її нільпотентний ідеал є ортогональним до всієї алгебри відносно форми Кіллінга.
  • Нільпотентна алгебра Лі має зовнішні автоморфізми, тобто автоморфізми які не є образами відображення Ad.
  • Для скінченновимірної розв'язної алгебри Лі   над полем характеристики 0   є нільпотентною алгеброю.
  • Для довільної нільпотентної алгебри Лі розмірності більшої 1 корозмірність її комутатора   Зокрема якщо   то   є абелевою.
  • В довільній скінченновимірній алгебрі Лі   існує найбільший нільпотентний ідеал, що називається нільрадикалом. У полі характеристики 0 нільрадикал складається з елементів   для яких   є нільпотентним лінійним перетворенням.
  • Іншим важливим нільпотентним ідеалом є нільпотентний радикал, що за означенням рівний перетину ядер скінченновимірних незвідних представлень алгебри  . Якщо   — радикал алгебри   (тобто максимальний розв'язний ідеал) то нільпотентний радикал рівний  Факторалгебра   є редуктивною алгеброю Лі і   є мінімальним із ідеалів для яких виконується ця умова.
  • Якщо   — скінченновимірний векторний простір над полем характеристики 0 то довільна нільпотентна підалгебра Лі   записується як  , де   — ідеали, що складаються відповідно з напівпростих і нільпотентних елементів з  .

Див. також

ред.

Примітки

ред.
  1. Knapp, 2002 Proposition 1.32.

Література

ред.
  • Fulton, W.; Harris, J. (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics. Т. 129. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6. MR 1153249.
  • Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. Т. 9. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
  • Knapp, A. W. (2002). Lie groups beyond an introduction. Progress in Mathematics. Т. 120 (вид. 2nd). Boston·Basel·Berlin: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5.